[論文レビュー] On the average distribution of primes represented by binary quadratic forms

Jakob Johann Ditchen|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、長期間にわたる負の基本的判別式の範囲において、正定値二変数二次形式によって表される素数について、Bombieri–VinogradovおよびBarban–Davenport–Halberstam型の定理を確立する。この研究では、すべての形式に対してほとんどすべての判別式について、その形式が表す最小の素数が |q|^{7+ε} で抑えられ、ほとんどすべての形式とほとんどすべての判別式について |q|^{3+ε} で抑えられることを示しており、大スクリーン不等式とイデアル類群における指標和推定を用いている。

ABSTRACT

We investigate the average distribution of primes represented by positive definite integral binary quadratic forms, the average being taken over negative fundamental discriminants in long ranges. In particular, we prove corresponding results of Bombieri-Vinogradov type and of Barban-Davenport-Halberstam type, although with shorter ranges than in the original theorems for primes in arithmetic progressions: The results imply that, for all $a>0$, the least prime that can be represented by any given positive definite binary quadratic form of discriminant $q$ is smaller than $|q|^{7+a}$ for all forms to "most" discriminants; moreover, it is even smaller than $|q|^{3+a}$ for "most" forms to "most" discriminants.

研究の動機と目的

• 算術的進歩の代わりに二変数二次形式によって表される素数に対して、Bombieri–VinogradovおよびBarban–Davenport–Halberstamの定理を拡張すること。
• 長期間にわたる負の基本的判別式の範囲において、正定値整数係数二変数二次形式によって表される素数の平均的分布を分析すること。
• 与えられた形式が表す最小の素数に対する有効な上界を、判別式および類群構造に条件付きで確立すること。
• イデアル類群における大スクリーン不等式と指標和推定を用いて、形式の類にわたる素数の数え上げ関数の平均二乗誤差および最大誤差を導出すること。
• 自然密度の仮定の下で、形 $x^2 + ny^2$ の最小の素数に関する既知の最良の上界を定量的に改善すること。

提案手法

• 解析的数論的手法を用いて、複素イデアル類群の指標に関する大スクリーン不等式を導出する。
• 滑らかなBombieri–Vinogradov型推定を適用し、判別式 $q \in \mathfrak{F}(Q)$ に対して、クラス群 $\mathcal{K}(q)$ のすべての形式類にわたる最大誤差項を制御する。
• 実および複素指標和推定を用いて、素数の数え上げ関数 $\pi(X;q,C)$ の誤差項を制御し、$L$-関数と類数推定に基づく境界を活用する。
• 平均二乗誤差境界を用いて、判別式と形式類の両方にわたる平均化により、一般のBarban–Davenport–Halberstam型結果を確立する。
• Lindelöf予想を仮定することで、有効範囲を拡大し、最小素数の上界における指数を低下させる。
• 二変数二次形式におけるSiegel–Walfisz定理と、ゼロ密度推定の対数なし形を用いて、最小素数に関する未条件および条件付きの境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長期間にわたる負の基本的判別式の範囲において、正定値二変数二次形式によって表される素数の平均的分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 Bombieri–Vinogradov型の定理を二変数二次形式の設定に拡張することは可能か？また、その有効範囲はどの程度か？
• RQ3 与えられた二変数二次形式（判別式 $q$）が表す最小の素数は、$|q|$ に対してどのように増加するか？
• RQ4 最小の素数が $|q|^{3+\varepsilon}$ より小さいという判別式の密度はどの程度か？
• RQ5 ほとんどすべての平方自由な $n$ に対して $y_{\min} = 1$ であるという仮定を用いて、形 $x^2 + ny^2$ の最小素数に関する平均的上界を導くことは可能か？

主な発見

• すべての $\varepsilon > 0$ に対して、任意の正定値二変数二次形式（判別式 $q$）が表す最小の素数は、ほとんどすべての判別式について $|q|^{7+\varepsilon}$ で抑えられる。
• ほとんどすべての形式とほとんどすべての判別式について、その形式が表す最小の素数は $|q|^{3+\varepsilon}$ で抑えられ、未条件の上界における指数が改善される。
• Bombieri–Vinogradov型結果（1.3）は、$Q^{20/3 + \varepsilon} \leq X(\log X)^{-B}$ の範囲で成り立ち、誤差項は $Q^{1/2}X(\log X)^{-A}$ で抑えられる。
• Barban–Davenport–Halberstam型結果（1.4）は、$Q^{3 + \varepsilon} \leq X(\log X)^{-2A - 4}$ の範囲で成り立ち、平均二乗誤差は $Q^{1/2}X^2(\log X)^{-A}$ で抑えられる。
• Lindelöf予想を仮定すると、最小素数の上界における指数は、$7+\varepsilon$ から $2+\varepsilon$ に、$3+\varepsilon$ から $1+\varepsilon$ にそれぞれ低下する。
• $y_{\min} = 1$ がほとんどすべての平方自由な $n$ に対して成り立つと仮定すると、ほとんどすべての $n$ に対して、形 $x^2 + ny^2$ の最小素数は $p_0(n) \leq n^{2+\varepsilon}$ を満たす。