[論文レビュー] On the average exponent of CM Elliptic Curves Modulo p

Sungjin Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、数体版ボンビエリ＝ビノグラドフ定理を用いて、CM楕円曲線の mod $ p $ における平均指数 $ e_p $ の改善された無条件誤差項を確立する。$ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p = c_E \mathrm{Li}(x^2) + O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $ を証明し、$ c_E $ は $ E $ の分割体における算術的性質により定義される。これは、先行研究の境界を著しく改善する。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over $\Q$ and with complex multiplication by $\mO_K$, the ring of integers in an imaginary quadratic field $K$. It is known that $E(\F_p)$ has a structure E(\F_p)\simeq \Z/d_p\Z \oplus \Z/e_p\Z. with $d_p|e_p$. We give an asymptotic formula for the average order of $e_p$, with improved error term, and upper bound estimate for the average of $d_p$.

研究の動機と目的

• 平均的位数 $ e_p $ の漸近公式における無条件誤差項を精緻化すること。ここで $ e_p $ は群構造 $ E(\mathbb{F}_p) \simeq \mathbb{Z}/d_p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/e_p\mathbb{Z} $ の大きい方の不変量である。
• 数体版ブラウン＝ティッチマーシュ不等式の類似を用いて、$ d_p $ の平均に対する上界を提供すること。
• クラス体論および分割体 $ \mathbb{Q}(E[k]) $ の性質を活用し、素数の分解挙動とねじれ構造を関連付けること。
• 特に、CM楕円曲線に対して、フリーベルグ＝クルバーグおよびウーの結果を上回る、無条件でのより強い誤差項を達成すること。
• 平均 $ d_p $ が $ x \log \log x $ より速くは成長しないことを確立すること。これは、自明な $ x \log x $ の境界を改善する。

提案手法

• 恒等式 $ \frac{1}{k} = \sum_{dm|k} \frac{\mu(d)}{m} $ を用いて $ \frac{p}{d_p} $ を除数の和として表現し、$ k $ における和を取ることを可能にする。
• 数体版ボンビエリ＝ビノグラドフ定理（Huxley, 2002）を適用し、$ \mathbb{Q}(E[k]) $ で完全に分解する素数の数え上げにおける誤差項を制御する。
• クラス体論に依拠し、$ \mathfrak{f} $ を法標数イデアルとするとき、$ \mathbb{Q}(E[k]) $ における素数 $ p $ の分解を、$ k\mathfrak{f} $ を法とするイデアル類によって特徴付ける。
• 数体版ブラウン＝ティッチマーシュ不等式から得られる評価 $ \widetilde{\pi}_E(x;k) \ll \frac{x}{[K(E[k]):K] \log(x/N(k\mathfrak{f}))} $ を用いて和を推定する。
• 部分和公式と $ n_k = [\mathbb{Q}(E[k]:\mathbb{Q}] $ の推定（$ \phi(k)^2 \ll n_k \ll k^2 $ を用い）て、主要項と誤差項を制御する。
• ボンビエリ＝ビノグラドフ定理およびブラウン＝ティッチマーシュ不等式からの推定を組み合わせ、$ k $ における和の誤差をバランスさせ、切り捨てパラメータ $ y $ を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CM楕円曲線 $ \mathbb{Q} $ 上で、和 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p $ の最良の無条件誤差項は何か？
• RQ2 群構造 $ E(\mathbb{F}_p) $ の小さい不変量 $ d_p $ の平均サイズは $ x $ と共にどのように成長するか？
• RQ3 数体版ボンビエリ＝ビノグラドフ定理を用いることで、$ e_p $ の平均における誤差項を、先行研究を上回る形で改善できるか？
• RQ4 数体におけるブラウン＝ティッチマーシュ不等式は、$ \sum d_p $ に対する非自明な上界を達成するためにどの程度有効か？
• RQ5 楕円曲線の導子 $ N $ は、$ \sum e_p $ の漸近公式における誤差項にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、無条件で $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p = c_E \mathrm{Li}(x^2) + O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $ という漸近式を確立し、$ c_E = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $ と定義される。これはウーの誤差項を改善する。
• 誤差項は、$ N \leq (\log x)^A $ を満たす限り任意の $ B > 0 $ に対して $ O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $ である。これは、以前の $ O(x^2 / (\log x)^{9/8}) $ の境界に比べて顕著な改善である。
• 平均 $ d_p $ は $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} d_p \ll_A x \log \log x $ を満たす。これは自明な境界 $ \ll x \log x $ よりも鋭い。この結果は数体版ブラウン＝ティッチマーシュ不等式を用いて導出される。
• 和 $ \sum e_p $ の誤差項の改善は、数体版ボンビエリ＝ビノグラドフ定理（Huxley, 定理1）を $ K(E[k]) $ における素数の分解に適用することに強く依存している。
• 和 $ \sum d_p $ の境界は、パラメータ $ y $ で和を分割することで達成される。$ k \leq y $ に対してブラウン＝ティッチマーシュ不等式を用い、$ k > y $ に対して自明な境界 $ \pi_E(x;k) \ll x/k^2 $ を用いる。最適な選択は $ y = \sqrt{x/(3N(\mathfrak{f}))} $ である。
• この結果は、平均 $ d_p $ がゆっくりと成長すること、最大で $ x \log \log x $ のオーダーに留まることを示しており、これはCM楕円曲線の構造と整合的である。