[論文レビュー] On the Average Maximal Number of Balls in a Bin Resulting from Throwing r Balls into n Bins T times

Amir Behrouzi-Far, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、r個のボールをn個のバケツにT回投げた際の、バケツに最も多く入るボールの平均数の漸近的挙動を、ホロノミックな仮説と再帰関係を用いて調査している。平均負荷を上回る超過量は、$ C_{n,r} \sqrt{T} + O(1/\sqrt{T}) $ のように増加することが導かれる。nとrが小さい場合の $ C_{n,r} $ の正確な再帰関係と推定値が提供されており、$ n $, $ r $, および $ \pi $ の関数としての閉形式表現の見つかりを目的とした、OEISへの150ドルの寄付が行われた。

ABSTRACT

We use the holonomic ansatz to estimate the asymptotic behavior, in $T$, of the average maximal number of balls in a bin that is obtained when one throws uniformly at random (without replacement) $r$ balls into $n$ bins, $T$ times. Our approach works, in principle, for any fixed $n$ and $r$. We were able to do the cases $(n,r)$ = $(2,1),(3,1),(4,1), (4,2)$, but things get too complicated for larger values of $n$ and $r$. We are pledging a \$150 donation to the OEIS for an explicit expression, (in terms of $n$, $r$, and $π$) for the constant $C_{n,r}$ such that that average equals $\frac{n}{r}\,T+C_{n,r} \sqrt{T}+O(1/\sqrt{T})$. In this version we announce that the problem has been solved (to the extent possible) by Marcus Michelen.

研究の動機と目的

• T回の投げの後、最も重いバケツの期待超過負荷の漸近的挙動を特定すること。
• nとrが小さい値のとき、超過負荷 $ A(n,r;T) $ の正確な線形再帰関係を計算し、大きなTに対して計算可能にする。
• 漸近展開 $ A(n,r;T) = C_{n,r} \sqrt{T} + O(1/\sqrt{T}) $ の定数 $ C_{n,r} $ を推定し、数学コミュニティに $ C_{n,r} $ の閉形式表現の発見を挑戦する。

提案手法

• 固定されたnとrに対して、$ A(n,r;T) $ の多項式係数をもつ線形再帰関係を導出するため、ホロノミックな仮説とウィルフ＝ゼイリンガーのアルゴリズム的証明理論を用いる。
• マルチノミアル係数と対称関数のブルートフォースな列挙により、$ A(n,r;T) $ の初期値を計算する。
• 記号計算を用いて再帰関係をフィッティングし、その後、存在の理論的保証に基づいて事後的に検証する。
• 再帰関係を活用して、直接列挙が非現実的である巨大なTに対しても $ A(n,r;T) $ を計算する。
• 再帰解にスターリングの近似を適用し、漸近的定数 $ C_{n,r} $ を抽出する。
• Contour積分および $ A(n,r;T) $ の多重和表現を、$ C_{n,r} $ の閉形式表現への道筋として検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ n $ と $ r $ に対して、$ T \to \infty $ のとき、期待最大バケツ負荷から平均負荷を引いたものの漸近的挙動は何か？
• RQ2 線形再帰関係（多項式係数付き）を $ A(n,r;T) $ に対して導出可能か？ また、それが任意に大きなTの値を計算するために利用可能か？
• RQ3 漸近展開 $ A(n,r;T) = C_{n,r} \sqrt{T} + O(1/\sqrt{T}) $ の定数 $ C_{n,r} $ の正確な値は何か？
• RQ4 $ C_{n,r} $ に対して $ n $, $ r $, および $ \pi $ の関数としての閉形式表現は存在するか？
• RQ5 ヒューリスティックな推定値 $ C_{n,r} $ は、nとrが小さい場合の数値的に計算された値とどのように比較されるか？

主な発見

• $(n,r) = (2,1)$ の場合、初期条件 $ A(1) = 1/2 $, $ A(2) = 1/2 $ のもとで再帰関係 $ A(T) = \frac{1}{T-1} A(T-1) + A(T-2) $ が成り立ち、漸近定数は $ C_{2,1} = (2\pi)^{-1/2} \approx 0.398942 $ である。
• $(n,r) = (3,1)$ の場合、第5階の線形再帰関係が導出され、$ C_{3,1} \approx 0.489 $ が得られ、事後的に再帰関係が検証された。
• $(n,r) = (4,1)$ の場合、第9階の線形再帰関係が計算され、公開ファイルに保存された。$ C_{4,1} \approx 0.516 $ である。
• $(n,r) = (4,2)$ の場合、第8階の線形再帰関係が導出され、$ C_{4,2} \approx 0.59430 $ が得られた。
• 著者らは、ヒューリスティックに $ C_{n,r} \approx (r/n) \sqrt{\pi \log n} \log(n/r) $ を推定しているが、nとrが小さい場合に正確な値から逸脱する。
• 閉形式表現の発見に対して、OEISへの150ドルの寄付が約束された。$ r=1 $ の場合に50ドル、一般の場合に100ドルを寄付し、マーカス・ミチェレンとブレナン・マケイの部分的進展を記念して寄付が行われた。