[論文レビュー] On the average number of rational points on curves of genus 2

Michael Stoll|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、整数係数で有界なNのgenus 2曲線における有理点の平均数について、ヒューリスティックおよび計算的証拠を提示し、それが1/√Nのオーダーで減少すると仮説を立てている。点の高さに関する境界を導入し、アルゴリズム的意義を検討しており、N=50までの曲線に対する広範な計算が行われ、体系的な探索と三次曲線の交点技術により、新たな有理点の記録が得られている。

ABSTRACT

Based on computational evidence, we formulate a number of conjectures on the distribution of rational points on curves of genus 2 over the rational numbers, in terms of the size of the coefficients of an equation of the form y^2 = f(x) >.

研究の動機と目的

• 整数係数がNで有界なgenus 2曲線における有理点の平均数を理解すること。
• このような曲線における有理点の分布および高さの境界を調査すること。
• 高さの境界を用いた有理点の計算のアルゴリズム的実行可能性を検討すること。
• 体系的な計算と三次曲線の交点技術を用いて、通常よりも多くの有理点を有する曲線を探索すること。
• 一様かつ多項式的有界な点数に関する仮説の妥当性を検証すること。

提案手法

• ヒューリスティック解析により特異曲線の割合を推定し、ℙ¹(ℚ)における各x座標ごとの期待有理点数を計算する。
• 曲線ℂ_N上の有理点座標の境界として、高さ関数H(a:b) = max{|a|,|b|}を用いる。
• φ(t)の関数方程式およびべき級数展開を用いて、期待点数における係数関数γ(a:b)を計算する。
• 多くの有理点を有する曲線を特定するための事前フィルタリング基準として、p<XにおけるFrobeniusトレースの積∏_{p<X} #C(𝔽_p)/pを用いる。
• C言語プログラムを用いて、既知の有理点を活用し、行列式条件を介して三次曲線とgenus 2曲線の6次交点を計算し、新たな有理点を同定する。
• N=50までの曲線に対して大規模な計算を実施し、ratpointsと高さ境界131,071を用いて有理点を探索した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数がNで有界なgenus 2曲線における有理点の平均数は何か？
• RQ2 このような曲線における有理点の高さは、Nに関して多項式的有界であると予想できるか？
• RQ3 多くの有理点を有するgenus 2曲線の族は、x=0, ∞, ±1, ±2に有理点を持つといった構造的パターンを示すか？
• RQ4 ABC予想やその他の数論的原則が、genus 2曲線における有理点の有効な高さ境界を示唆できるか？
• RQ5 すべてのgenus 2曲線において、Nに関する一様または対数的有界な有理点数の上限は存在するか？

主な発見

• ℂ_Nにおけるgenus 2曲線の有理点の平均数は、γ>0の定数を用いて∼γ/√Nのオーダーで減少すると仮説を立てている。
• 有理点を少なくとも1個以上持つgenus 2曲線の密度はゼロである。これは、Nが増加するにつれて平均点数がゼロに近づくためである。
• 任意のε>0に対して、係数空間におけるZariski閉部分集合を除き、ℂ_Nに属する曲線の有理点の高さはB_ε N^{13/2+ε}で有界であると予想されている。
• 有理点数に対する一様な境界B log(2N+1)が予想されており、これはLangの予想より弱いが、実験的データによって裏付けられている。
• N=50までの体系的計算により、370以上の有理点を有する曲線が発見され、そのうち1つは三次曲線の交点技術により少なくとも374の有理点を有することが確認された。
• p=200までのFrobeniusトレース積を事前フィルタリングに用いることで、多くの有理点を有する曲線を特定する効率が著しく向上した。