[論文レビュー] On the axiom of planes and the axiom of spheres in the almost Hermitian geometry

Ognian Kassabov|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、全微分形式と反全微分形式の平面および球面に関する公理を導入することで、ほぼヘルミート多様体に対するカルタンの定理（一定曲率）の類似を確立する。もしほぼヘルミート多様体が全微分 $2n$-平面または $2n$-球面の公理を満たすならば、点ごとの全微分断面曲率が一定である $RK$-多様体である必要がある。もし反全微分版を満たすならば、実空間形または複素空間形であることが示され、古典的結果がほぼヘルミート設定に一般化される。

ABSTRACT

Criterions for constancy of the holomorphic sectional curvature and the antiholomorphic sectional curvature are proved for almost Hermitian manifolds. It is shown, that an almost Hermitian manifold satisfying the axiom of antiholomorphic planes or the axiom of antiholomorphic spheres is a real or a complex space form.

研究の動機と目的

• カルタンの定曲率に関する古典的定理を、ほぼヘルミート多様体へ拡張すること。
• 全微分または反全微分部分多様体（平面または球面）に関する公理が、ほぼヘルミート幾何学における曲率の定数性を示唆するかを調査すること。
• ケーラー多様体および $RK$-多様体に関する既知の結果を、より広いほぼヘルミート構造のクラスへ一般化すること。
• ほぼヘルミート多様体が実空間形または複素空間形である必要がある条件を確立すること。

提案手法

• 全微分 $2n$-平面および $2n$-球面の公理を導入し、各全微分 $2n$-次元部分空間に対して、非ゼロの平行平均曲率ベクトルを持つ完全測地的または完全縁状部分多様体の存在を要請する。
• 曲率テンソルの恒等式および対称性の性質を適用し、部分多様体の法方向における曲率テンソルが消える条件を導出する。
• 補題1および補題3を用いて、直交する $X,Y$ に対して $g(X,JY)=0$ を満たすとき $R(X,JX,JX,Y)=0$ が成り立つならば、点ごとの全微分断面曲率が一定であることを示す。
• 定理Bを適用し、曲率テンソルが $R = K R_1 + (c-K)/3 R_2$ の形をしているならば、多様体は実空間形または複素空間形であることを示す。
• 定理Cを用いて、点ごとの全微分および反全微分断面曲率が一定である連結 $RK$-多様体を分類する。
• 反全微分公理の下での曲率テンソルを分析し、直交制約下で $R(X,Y,Y,Z)=0$ が成り立つことを示し、全微分および反全微分曲率の点ごとの定数性に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼヘルミート多様体が全微分 $2n$-平面または $2n$-球面の公理を満たすとき、どのような条件下で全微分断面曲率が一定となるか？
• RQ2 幾何的公理を用いて、非ケーラー的ほぼヘルミート多様体に対しても、古典的カルタン定理の定曲率に関する拡張が可能か？
• RQ3 ほぼヘルミート多様体が反全微分 $n$-平面または $n$-球面の公理を満たすとき、どのような曲率構造が生じるか？
• RQ4 点ごとの全微分および反全微分断面曲率がともに一定であるという条件は、ほぼヘルミート多様体が実空間形または複素空間形であることを強制するか？
• RQ5 ほぼヘルミート幾何学における平面および球面の公理は、$RK$-性質および曲率テンソルの分解とどのように関係するか？

主な発見

• ほぼヘルミート多様体が $1 \neq n < m$ の全微分 $2n$-平面または $2n$-球面の公理を満たすならば、点ごとの全微分断面曲率が一定である $RK$-多様体である。
• 多様体が $2 \neq n \neq m$ の反全微分 $n$-平面または $n$-球面の公理を満たすならば、点ごとの全微分および反全微分断面曲率がともに一定である。
• このような多様体の曲率テンソルは、$R_1$ および $R_2$ が標準的曲率テンソルであるとき、$R = K R_1 + (c-K)/3 R_2$ の形を取らなければならない。
• 連結な $2m$-次元ほぼヘルミート多様体で $m \neq 3$ かつ反全微分公理を満たす場合、多様体は実空間形または複素空間形のいずれかである。
• 本結果は、カルタン、レング＝ノミズ、チエン＝オギウの古典的定理をほぼヘルミート設定に一般化する。
• 証明は、部分多様体の法方向における曲率の消滅およびテンソル恒等式の適用により、曲率不変量のグローバルな定数性を強制する。