[論文レビュー] On the backward stability of the second barycentric formula for interpolation

Walter F. Mascarenhas|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Mathematical functions and polynomials被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Lebesgue定数が小さい条件下で、第二種バーチャル補間公式の後向き安定性が確立されている。ノードおよび重みの摂動による後向き誤差の厳密な上界および下界が提示されており、数値的評価がわずかに摂動されたノードおよび関数値における正確な評価と等価であることが示されており、誤差境界は ϵn²log n（Salzerの重み）または ϵn log n（数値的重み）に比例する。

ABSTRACT

We present a new stability analysis for the second barycentric formula for interpolation, showing that this formula is backward stable when the relevant Lebesgue constant is small.

研究の動機と目的

• ノードおよび重みの現実的な摂動下における第二種バーチャル補間公式の後向き安定性を分析すること。
• Higham (2004) が最悪ケースにおいて不安定性を主張したのとは対照的に、Lebesgue定数が小さい場合には安定性が保たれることを示すこと。
• ノードおよび重みの両方の摂動を同時に考慮した、後向き誤差のきめ細やかな上界および下界を提供すること。
• Chebyshevノードと標準的な重み計算手法を用いる実用的状況においても、公式が後向き安定性を保つことを示すこと。
• 摂動理論の枠組みを通じて、多項式補間と有理関数補間の分析を統一すること。

提案手法

• 第二種バーチャル公式を、関数値 y から有理関数補間を生成する線形作用素 Ix,w として形式化する。
• Ix,w の作用素ノルムとして、Lebesgue定数 Λx−,x+,x,w を定義し、誤差の最大拡大率を測定する。
• ノード摂動の相対誤差 δjk, δ−j, δ+j および重み摂動の ζk を導入し、数値的不正確さを定量化する。
• Higham (2002) が提唱した誤差カウンターテクニックを用いて、ノード誤差および重み誤差の両方を考慮した摂動解析により、後向き誤差の上界を導出する。
• 摂動されたノードと元のノードとの間の全単射 χ を構築し、計算値を近傍の点における正確な補間値に写像する。
• 後向き誤差解析の理論を用いて、計算値がわずかに摂動されたノードおよび関数値における正確な補間値に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードおよび重みの摂動が生じる状況下でも、第二種バーチャル補間公式がどのような条件下で後向き安定性を示すのか。
• RQ2 ノードおよび重みの相対誤差が、補間公式の後向き誤差にどのように同時に影響を与えるか。
• RQ3 Higham (2004) が最悪ケースにおいて不安定性を主張したにもかかわらず、なぜ実際には安定性が保たれるのか（例：Chebyshevノードの場合）。
• RQ4 第二種Chebyshev点を用いた多項式補間における、後向き誤差の鋭い境界は何か。
• RQ5 異なる重み計算戦略（Salzerの閉形式 vs. 数値的評価）が、後向き誤差にどのように影響を与えるか。

主な発見

• Lebesgue定数 Λx−,x+,x,w が小さい限り、ノードおよび重みの摂動が生じても第二種バーチャル補間公式は後向き安定性を示す。
• 第二種Chebyshevノードの場合、Salzerの重みを用いると後向き誤差は O(ϵn²log n) で抑えられ、数値的重みを用いると O(ϵn log n) で抑えられる。
• 第3節における下界により、Lagrange補間において誤差境界が log n 要素を除いて鋭いことが示されている。
• ノードおよび重みの両方の摂動を同時に考慮した分析により、一方を無視すると真の後向き誤差が低減評価される可能性がある。
• 計算値 fl(q(ˆx; ˆx, y, ˆw)) は、近傍の点 x および摂動された関数値 ˜yk = yk(1 + αk) における正確な補間値 q(x; x, ˜y, w) に等しく、∥α∥∞ は δ と Lebesgue定数の関数によって有界である。
• ノードの摂動は max{∥x − ˆx∥∞, |x− − ˆx−|, |x+ − ˆx+|} によって有界であり、計算された点が元の点に近いことを保証する。