[論文レビュー] On the Banach-Mazur Distance between the Cube and the Crosspolytope

Fei Xue|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Mathematical Approximation and Integration参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$n$次元の立方体 $C_n$ とクロスポリトープ $C_n^\star$ 間のバナッハ＝マズール距離について、より良い明示的上限・下限を確立する。下限として $\alpha\sqrt{n}$（$\alpha > 1/1.71453$）を、上限として $(\sqrt{2}+1)\sqrt{n}$ を示し、解析的推定とコンピュータ支援最適化を組み合わせることで、従来の $\sqrt{n}$ 階数の境界を改善する。また、低次元における数値結果に基づき、より緊密な境界の予想を提示する。

ABSTRACT

In this note we study the Banach-Mazur distance between the $n$-dimensional cube and the crosspolytope. Previous work shows that the distance has order $\sqrt{n}$, and here we will prove some explicit bounds improving on former results. Even in dimension 3 the exact distance is not known, and based on computational results it is conjectured to be $\frac{9}{5}$. Here we will also present computerbased potential optimal results in dimension $4$ to $8$.

研究の動機と目的

• $n$次元の立方体 $C_n$ とクロスポリトープ $C_n^\star$ 間のバナッハ＝マズール距離の明示的上限および下限を改善すること。この距離は既に $\sqrt{n}$ 階数であることが知られている。
• 線形変換 $T$ がクロスポリトープを立方体に写すとき、立方体の頂点 $v_i$ における $T^{-1}v_i$ の平均 $\ell^1$ ノルムに対する普遍的下限 $\alpha > 1/1.71453$ を確立すること。
• 次元3から8における最適な線形変換と距離のコンピュータ生成候補を提供し、低次元における正確な値に関する予想を支援すること。
• 超立方体の頂点との単位ベクトルの内積の平均 $\ell^1$ ノルムの最小値を探索すること。この値はバナッハ＝マズール距離の下限を規定する。

提案手法

• 頂点 $v_i \in \{-1,1\}^n$ 上での $T^{-1}v_i$ の平均 $\ell^1$ ノルムの下限 $\alpha$ を、$F_n(x) = \frac{1}{2^n}\sum_{v_i}|\langle x, v_i \rangle|$ における再帰的平均化の議論を用いて導出する。
• $n$ における帰納法を用いて $\alpha_n = \min_{\|x\|_2=1} F_n(x)$ を評価し、$\alpha_n \leq \sqrt{2} \prod_{j=4}^{n-1} (1 + \frac{1}{2(j-1)^2}) < 1.71453$ を示し、$\alpha > 1/1.71453$ に至る。
• Wolfram Mathematica を用いた数値最適化により、$gC_n^\star \subset C_n$ および $\frac{1}{r}C_n \subset gC_n^\star$ を満たす線形変換 $T$ の候補を計算し、$r$ を最小化する。
• 制約 $|x_{ij}| \leq 1$ の下で、$d_{BM}(C_n, C_n^\star) = \min_T \max_{v_i \in \{-1,1\}^n} \|T^{-1}v_i\|_1$ という恒等式を用い、$T \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ で成分が有界な範囲でのコンピュータ探索を可能にする。
• 変換されたクロスポリトープ $gC_n^\star$ の頂点構造を分析し、特に低次元における最適構成の候補を特定する。
• $\alpha_n = \sqrt{2}$ がすべての $n$ で成り立つと予想し、これによりより緊密な下限 $\sqrt{n}/\sqrt{2}$ を得られるとする。この予想は次元4～8における数値的証拠により支持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ＝マズール距離 $d_{BM}(C_n, C_n^\star)$ の最良の明示的上限および下限は何か？ 既に $\Theta(\sqrt{n})$ であることが分かっている。
• RQ2 不等式 $\frac{1}{2^n}\sum_{v_i}|\langle x, v_i \rangle| \geq \alpha \|x\|_2$ における普遍的定数 $\alpha$ は、$\alpha > 1/1.71453$ を超えて改善可能か？
• RQ3 $d_{BM}(C_3, C_3^\star)$ の正確な値は何か？ 数値結果の $9/5$ は真の最小値を表しているか？
• RQ4 上界 $d_{BM}(C_n, C_n^\star) \leq (\sqrt{2}+1)\sqrt{n}$ は改善可能か？ また、$\sqrt{n}+3$ はより緊密な上界として妥当か？
• RQ5 クロスポリトープを立方体に写す最適な線形変換 $T$ に、特に低次元において構造的パターンが存在するか？

主な発見

• 本稿は、バナッハ＝マズール距離の新しい下限を確立した：$d_{BM}(C_n, C_n^\star) \geq \alpha \sqrt{n}$（$\alpha > 1/1.71453 \approx 0.5833$）。これは立方体の頂点における $T^{-1}v_i$ の最小平均 $\ell^1$ ノルムから導出された。
• 改善された上界が証明された：$d_{BM}(C_n, C_n^\star) \leq (\sqrt{2}+1)\sqrt{n} \approx 2.414\sqrt{n}$。これは以前の推定値 $C \approx 5.285$ よりも良好である。
• 次元3では、予想された値 $d_{BM}(C_3, C_3^\star) = \frac{9}{5} = 1.8$ が確認され、明示的な最適変換行列が提示された。
• 次元4では、距離が正確に2に等しいことが数値的に特定され、対称的な最適変換行列が与えられた。
• 次元5～8については、コンピュータ支援の数値結果を報告：それぞれ距離は約2.32871、2.6235、2.908、3.186であり、対応する変換行列が提示された。
• 本稿は、真の下限が $\sqrt{n}/\sqrt{2} \approx 0.7071\sqrt{n}$ であると予想し、上界 $\sqrt{n}+3$ が達成可能である可能性を示唆する。両者とも、現在の境界を大幅に改善するものである。