[論文レビュー] On the Basis of Quantum Statistical Mechanics

Ayumu Sugita|ArXiv.org|Feb 27, 2006

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、測定可能な観測可能量の数が限られていることにより、エネルギー殻内のほとんどすべての純粋状態が、実用上、マイクロカノニカル集合に区別できないことを示すことによって、巨視的量子系におけるマイクロカノニカル集合の新たな根拠を提示する。主な結果は、エルゴード性や混合性の仮定なしに、巨視的観測量の期待値が、マイクロカノニカル平均と指数関数的に近いことである。

ABSTRACT

We propose a new approach to justify the use of the microcanonical ensemble for isolated macroscopic quantum systems. Since there are huge number of independent observables in a macroscopic system, we cannot see all of them. Actually what we observe can be written in a rather simple combination of local observables. Considering this limitation, we show that almost all states in a energy shell are practically indistinguishable from one another, and hence from the microcanonical ensemble. In particular, the expectation value of a macroscopic observable is very close to its microcanonical ensemble average for almost all states.

研究の動機と目的

• 孤立した巨視的量子系におけるマイクロカノニカル集合の新たな基礎を提供すること。
• エルゴード性に基づく従来の正当化の限界を扱い、巨視的系では緩和時間が指数関数的に長くなるため、それらが失敗することを示すこと。
• 典型的な状態の有効な区別不能性が、巨視的観測可能量の数が非常に少ないという物理的制限に起因することを示すこと。
• 動的カオス性や混合性を仮定しなくても、可積分系においても熱的平衡が出現できることを示すこと。
• 典型的な純粋状態における高い量子もつれと、熱的状態における低いもつれの間にある表面的矛盾を解消するため、複雑なもつれは観測不能であると主張すること。

提案手法

• ヒルベルト空間内の量子状態を高次元の球体内の点に写像するブロッホベクトル表現を用い、純粋状態は表面に、混合状態は内部に位置する。
• 局所的演算子の積を高々 $m$ 個まで含む観測可能量の部分空間 $V_m$ を定義する。ここで $m \ll n$ は巨視的ではあるが有限な数である。
• エネルギー殻 $\mathcal{H}_{[E,E+\Delta]}$ におけるアンサンブル平均を用いて、射影されたブロッホベクトル $P_{V_m}(\bm{\lambda})$ の分散を計算する。
• 典型的な状態がマイクロカノニカル平均に近いことを示すために、二乗偏差の上限を導出する：$\overline{\|P_{V_m}(\bm{\lambda}) - P_{V_m}(\overline{\bm{\lambda}})\|^2} \leq \frac{N_s^m \cdot \dim V_m}{d+1}$。
• チェビシェフの不等式を用いて、状態がマイクロカノニカル平均から著しく異なる確率が系のサイズに従って指数関数的に減少することを示す。
• 時間に依存するスピン模型を用いた数値的検証により、メカニズムを提示する。ここで、ブロッホベクトルの $m$-体部分 $W_m$ は速やかに小さな平均値に近づき、有効な均衡化が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴード性が失敗する巨視的孤立量子系において、マイクロカノニカル集合がなぜ機能するのか？
• RQ2 動的カオス性や混合性を仮定しなくても、可積分系において熱的平衡がどのように出現するのか？
• RQ3 狭いエネルギー殻内の典型的な純粋状態が、どの程度実用上マイクロカノニカル集合と区別できないのか？
• RQ4 測定可能な観測可能量の数が少ないという制限が、熱化の出現に果たす役割は何か？
• RQ5 もつれが通常非平衡状態に関連するとされる中で、高もつれの純粋状態がどのように熱的状態に見えるのか？

主な発見

• エネルギー殻上での射影ブロッホベクトル $P_{V_m}(\bm{\lambda})$ の分散は、$\frac{N_s^m \cdot \dim V_m}{d+1}$ で上限が与えられ、系のサイズ $n$ とともに指数関数的に減少する。
• 巨視的系では、マイクロカノニカル集合と実用上区別できる状態の割合は指数関数的に小さくなる。
• 系の時間発展により、ブロッホベクトルの $m$-体部分 $W_m$ は速やかに小さな平均値 $\frac{3^m \cdot n!}{2^n \cdot m! \cdot (n-m)!}$ に近づき、有効な均衡化が生じる。
• トランスバースイジング模型のような可積分系でも、測定可能な観測可能量が少数である限り、系は熱的であるように見える状態に近づく。
• 熱力学的に通常の系では、部分系の密度行列のマイクロカノニカル集合平均が、カノニカル集合に一致するため、マイクロカノニカル基礎に基づくカノニカル集合の正当化が可能になる。
• 高もつれの純粋状態は、低次の局所的観測可能量しか測定できない場合、もつれがない（すなわち、最大混合状態のように見える）ため、もつれの存在が熱的状態に見えたという表面的パラドックスが解消される。