[論文レビュー] On the Bautin bifurcation for systems of delay differential equations

Anca Veronica Ion|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2011

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、遅れ微分方程式（DDE）系における、2つの臨界的フロケ固有値が同時に消えることによって特徴づけられる、codimension-twoのバウチン分岐の存在を調査する。通常微分方程式における古典的バウチン分岐理論をDDEに拡張することで、このような分岐が発生する明示的条件を導出し、遅れと非線形性の相互作用が一般化されたホップ分岐を通じて安定な周期的解の出現を引き起こす可能性があることを示している。主な貢献は、DDEにおけるバウチン分岐の非退化条件を導出したことであり、これにより振幅と周波数の変動を予測可能にする。

ABSTRACT

For systems of delay differential equations the Hopf bifurcation was investigated by several authors. The problem we consider here is that of the possibility of emergence of a codimension two bifurcation, namely the Bautin bifurcation, for some of such systems.

研究の動機と目的

• 遅れ微分方程式（DDE）系において、codimension-twoのバウチン分岐が発生するかどうかを調査すること。これは、通常微分方程式からの古典的結果を拡張することを目的とする。
• DDE系においてバウチン分岐が発生するための必要十分条件を特定すること。特に、遅れと非線形項の相互作用に注目する。
• DDEにおけるバウチン分岐の明示的非退化条件を導出し、安定な周期的解の予測を可能とする。

提案手法

• 平衡点近傍の局所的分岐挙動を解析するため、遅れ微分方程式への中心多様体還元および正規形理論の適応。
• 出現する周期的解の安定性と性質を評価するため、DDEの第一および第二のリャプノフ係数を計算する。
• 分岐点近傍での振動の進化を記述する振幅方程式を導出するため、複数スケール法の使用。
• DDEにおけるバウチン分岐の臨界条件を導出する。これは第一リャプノフ係数の消滅と第二の非退化条件の両方を含む。
• ホップ分岐およびバウチン分岐の前提条件である、純虚数の特性根の特定を目的として、平衡点まわりの線形化DDEに対するスペクトル解析の適用。
• システムパラメータに関する第一リャプノフ係数の微分を含む非退化条件の定式化。これにより、分岐のcodimension-two性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの臨界的フロケ固有値が同時に消えることによって特徴づけられるバウチン分岐—これは、遅れ微分方程式系で発生しうるか？
• RQ2 DDE系におけるバウチン分岐が発生するための必要十分条件は何か。特に、システムのパラメータと非線形性の観点から考察する。
• RQ3 遅れの存在が、このような分岐によって出現する周期的解の振幅と周波数にどのように影響を与えるか？
• RQ4 第一および第二のリャプノフ係数は、DDEにおける分岐する周期的軌道の安定性と性質を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 遅れ微分方程式の文脈において、バウチン分岐の非退化条件を明示的に定式化する方法は何か？

主な発見

• 本稿は、バウチン分岐が遅れ微分方程式系において実際に発生可能であることを確立し、通常微分方程式からの古典的結果をDDE設定に拡張した。
• DDEにおけるバウチン分岐の非退化条件が導出され、分岐のcodimension-two性と限界周期軌道の折りたたみの存在を保証する。
• DDE系に対して第一リャプノフ係数が計算され、その消滅がバウチン分岐の発生を示し、出現する周期的解の安定性の変化を示している。
• 平衡点近傍での周期的解の振幅は、システムのパラメータと遅れに依存する立方正規形方程式によって支配される。
• 解析により、遅れがシステムの特性方程式に重要な依存性をもたらし、分岐構造および安定振動の出現に影響を与えることが確認された。
• 導出された条件により、平衡点から出現する周期的解の数と安定性を予測可能となり、DDEにおける分岐解析のフレームワークが提供された。