[論文レビュー] On the behavior of Castelnuovo-Mumford regularity with respect to some functors

Marc Chardin|ArXiv.org|Jun 19, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 19被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、Tor、フロベニウス、およびイデアルのべき乗といった主要な代数的ファンクターの下でのカステルヌーヴォ-ムーディー正則性の振る舞いを調査し、入力の正則性および幾何的不変量を用いた鋭い上限を与える。特異的局所の次元が ≤1 である射影スキーム内のコhen-マカウレイ部分スキームの交差に対する新しい正則性上限を確立し、既存の結果を一般化し、イデアルのべきやケーラー微分の応用をもたらす。

ABSTRACT

We investigate the behavior of Castelnuovo-Mumford regularity with respect to some classical functors : Tor, the Frobenius functor in positive characteristic, taking a power or a product (on ideals). These generalizes and refines previous results on these issues by several authors. As an application we provide results on the regularity of an intersection of subschemes of a projective scheme, under appropriate geometric hypotheses. Results on the rigidity of multiple Tor modules and on the characterization of their vanishing are given, motivated by geometric applications.

研究の動機と目的

• トール、フロベニウス、およびイデアル積・べき乗といった古典的ファンクターの下でのカステルヌーヴォ-ムーディー正則性の既存の上限を拡張・精緻化すること。
• コhen-マカウレイおよび次元制約の下で、射影スキーム内の部分スキームの交差の正則性に対する幾何的推定値を提供すること。
• 正則環上の多重トールモジュールの剛性および消失条件を、幾何的応用を動機として確立すること。
• 特異的局所および次元制約の下で、正標数におけるフロベニウスの下での正則性成長に関するカッツマンの予想に取り組むこと。
• 斉次イデアルによって定義される射影スキームにおけるケーラー微分モジュールの正則性の上限を導出すること。

提案手法

• すべてのモジュールのうち一つを除いて有限な射影次元を持つと仮定し、アイゼンバルド＝フンエケ＝ウルリッヒのトール正則性に関する上限を、ネーター局所環上の標準的次数付き代数へ一般化する。
• スペクトル系列技術および局所コホホロジーを用いて、トールモジュールの正則性を分析し、ベッチ数の次数に関する上限を用いる。
• 最小自由分解の構造およびヤコビ行列を用いて、ケーラー微分モジュールの正則性に関する上限を導出する。
• 特異的局所およびモジュールの次元および台の条件を適用し、フロベニウス反復における正則性成長を制御する。
• モジュールの数に関する帰納法および再帰的不等式を用いて、イデアルのべきの正則性を上限づける。
• 適切な交差および余次元条件の概念を適用し、モジュールの正則性がその因子の正則性の和に関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力モジュールが有限射影次元を持つとき、トールファンクターの下でのカステルヌーヴォ-ムーディー正則性はどのように振る舞うか？
• RQ2 特異的局所の次元が ≤1 である射影スキーム内のコhen-マカウレイ部分スキームの交差の正則性に対する鋭い上界は何か？
• RQ3 正則環上のグレーディング付きモジュールのフロベニウスべきの正則性は、元のモジュールの正則性および特異的局所を用いて上限づけられるか？
• RQ4 正則環上の多重トールモジュールの剛性または消失を保証する条件は何か？
• RQ5 定義イデアルおよびそのベッチ数を用いて、ケーラー微分モジュールの正則性をどのように上限づけられるか？

主な発見

• 特異的局所の次元が ≤1 である射影スキーム内のコhen-マカウレイ部分スキームの適切な交差 Z に対して、reg(Z) ≤ ∑ᵢ max{reg(Zᵢ), reg(S)−1} + ⌊(dim S −1)/2⌋(reg(S)−1) が成り立ち、reg(S) ≤ 1 の場合には等号が成立し、reg(Z) ≤ ∑ᵢ reg(Zᵢ) が得られる。
• ネーター局所環上の標準的次数付き代数 S 上のトールモジュールに対して、maxᵢ{reg(Torᵢ(M,N)) − i} = reg(M) + reg(N) − reg(S) が成り立つ。ただし、一つのモジュールが有限射影次元を持ち、すべての正のトールモジュールの台の次元が ≤1 であると仮定する。
• 正標数 p における標準的次数付き代数 S 上のグレーディング付きモジュール M のフロベニウスべき Fᵉ(M) に対して、reg(Fᵉ(M)) ≤ reg(S) + pᵉ(reg(M) + ⌊dim S/2⌋(reg(S)−1) + dim S) が成り立つ。ただし、dim(Sing(S) ∩ Supp(M)) ≤ 1 であると仮定する。
• 多項式環内のイデアル I に対して、dim(R/I) ≤ 2 のとき、Iʲ の正則性は、j=2 の場合に reg(Iʲ) ≤ max{2reg(I), reg(Iˢᵃᵗ) + 2b₀ − 2}、j ≥ 2 の場合に reg(Iʲ) ≤ max{3reg(I) + (j−3)b₀, reg(Iˢᵃᵗ) + jb₀ − 2} を満たす。
• 斉次イデアル I によって定義される射影的曲面 B に対して、ケーラー微分モジュール Ω_B の正則性は、一般の非特異性の下で a₃(Ω_B) ≤ a₃ + 1、a₂(Ω_B) ≤ max{a₂ + 1, a₃ + b₀}、a₁(Ω_B) ≤ max{a₁ + 1, a₂ + b₀, a₃ + b₁} を満たす。
• I/I² の局所コホホロジーの消失は、Ω_B の正則性に上限を与える。H¹ₘ(I/I²) は、次数 > max{a₁ + b₀, a₂ + b₁, a₃ + b₂, a₃ + d₁ + d₂} で消失し、H²ₘ(I/I²) は、次数 > max{a₂ + b₀, a₃ + b₁} で消失する。