[論文レビュー] On the behavior of homogeneous, isotropic and stationary turbulence

Massimo Tessarotto, Claudio Asci|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非圧縮性ナビエ＝ストークス流体の統計的挙動を導出するために逆運動論的理論（IKT）を用いて、均一で等方的かつ定常な乱流（HIST）を調査する。IKTの下で、HISTは一点速度確率密度関数（PDF）が等方的ガウス分布でなければならないことを証明し、与えられた対称性のもとで他の関数形が可能でない、HISTの厳密な統計的基盤を確立する。

ABSTRACT

The recent development of a statistical model for incompressible Navier-Stokes (NS) fluids based on inverse kinetic theory (IKT, 2004-2008) poses the problem of searching for particular realizations of the theory which may be relevant for extit{the statistical description of turbulence} and in particular for the so-called extit{homogeneous, isotropic}and extit{stationary} turbulence (HIST). Here the problem is set in terms of the $1-$point velocity probability density function (PDF) which determines a complete IKT-statistical model for NS fluids. This raises the interesting question of identifying the statistical assumptions under which a Gaussian PDF can be achieved in such a context. In this paper it is proven that for the IKT statistical model, HIST requires necessarily that $f_{1}$ must be SIED (namely extit{stationary}, extit{isotropic} and extit{% everywhere-defined}). This implies, in turn, that the functional form of the PDF is uniquely prescribed at all times. In particular, it is found that necessarily the PDF must coincide with an isotropic Gaussian distribution. The conclusion is relevant for the investigation of the so-called homogenous, isotropic and stationary turbulence.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス流体において、均一で等方的かつ定常な乱流（HIST）が実現される統計的条件を特定すること。
• 逆運動論的理論（IKT）がHISTのモデル化に果たす役割と、一点速度PDFへのその影響を調査すること。
• HISTにおける速度PDFの関数形を一意に規定する必要十分な対称性および関数的制約を同定すること。
• IKTフレームワーク内でのHIST条件下で、ガウス分布PDFが唯一の可能な解であるかどうかを確立すること。

提案手法

• 本研究は、一点速度PDF $ f_1 $ を根拠として、非圧縮性ナビエ＝ストークス流体の完全な統計的モデルを構築するため、逆運動論的理論（IKT）を用いる。
• HISTを、PDF $ f_1 $ が定常的かつ等方的であり、至る所で定義されている（SIED）こととして定義し、厳密な対称性制約を課す。
• 流体場の統計的挙動をモデル化するため、隠れ変数 $ \mathbf{\alpha} $ と確率的平均 $ \langle \cdot \rangle_{\mathbf{\alpha}} $ を用いた確率的表現を用いる。
• 空間並進および回転に関して不変で、時間に依存しないPDFの関数形を要求することで、$ f_1 $ の関数形を導出する。この結果、一意な解が得られる。
• PDFが位相空間全域で適切に定義され、可積分であることを保証するため、測度論的および関数解析的道具を用いる。
• PDFがHISTの特徴であるすべての空間的および時間的対称性に関して不変でなければならないという要請に従い、一意なガウス型の形が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IKTに基づくナビエ＝ストークス流体の統計的モデルにおいて、一点速度PDFがガウス分布に簡略化される条件は何か？
• RQ2 逆運動論的理論（IKT）フレームワーク内において、均一で等方的かつ定常な乱流（HIST）のための等方的ガウス分布PDFは、唯一の可能な解であるか？
• RQ3 HISTとみなされるために、速度PDFが満たすべき対称性は何か？ そして、それらはPDFの関数形にどのような制約を課えるか？
• RQ4 HIST条件は、PDFが定常的かつ等方的であり、至る所で定義されている（SIED）ことを要請することで完全に特徴付けられるか？
• RQ5 IKTアプローチは、HISTのための速度PDFを一意に規定するのか？ それとも、同じ対称性のもとで他の関数形が可能なのか？

主な発見

• HISTがIKTフレームワーク内で実現されるためには、一点速度PDF $ f_1 $ がSIED（定常的、等方的、至る所で定義されている）でなければならない。
• SIED条件のもとで、$ f_1 $ の関数形はすべての時間において一意に規定され、その形状に自由度は一切存在しない。
• 唯一の解として得られる $ f_1 $ は等方的ガウス分布であり、このモデル内ではHIST条件を満たす他のPDF形はあり得ない。
• この結果は、IKT統計的モデル内では、HISTが等方的分散を伴うガウス分布の速度分布と数学的に同値であることを示唆する。
• 導出結果は、HISTの統計的記述が、対称性の制約によって完全に決定されており、追加の仮定は不要であることを確認する。
• 結論として、HISTに厳密な統計的基盤が与えられ、ガウス性が仮定ではなく、対称性の結果として必然的に導かれることが示された。