[論文レビュー] On the behavior of $p$-adic Euler $\ell$-functions

Min-Soo Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

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ひとこと要約

本稿は、Kubota-Leopoldtの$p$-進補間とWashingtonの$p$-進積分手法を用いて、$p$-進Euler $\ell$-関数を構成し、それが$\mathbb{Z}_p$上で連続な$p$-進関数として存在することを証明する。主な結果は、$\ell_{p,E}(1-n,\chi) = (1 - p^n\chi_n(p))\ell_E(-n,\chi_n)$を示し、$p$-進$\ell$-関数と一般化されたEuler数を結びつけるものであり、負の整数における特殊値の$p$-進補間を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we propose a construction of $p$-adic Euler $\ell$-function using Kubota-Leopoldt's approach and Washington's one. We also compute the derivative of $p$-adic Euler $\ell$-function at $s=0$ and the values of $p$-adic Euler $\ell$-function at positives integers.

研究の動機と目的

• 負の整数における複素Euler $\ell$-関数の特殊値を補間する$p$-進Euler $\ell$-関数を構成すること。
• $p$-進積分と補間技術を用いて、古典的Euler $\ell$-関数を$p$-進設定に拡張すること。
• $p$-進Euler $\ell$-関数の$s=0$における導関数と正の整数における値を計算すること。
• $p$-進測度と指標和を用いて、$\ell_{p,E}(s,\chi)$関数の$p$-進連続性および補間性質を確立すること。

提案手法

• $\mathbb{Z}_p^\times$ 上のfermionic $p$-進測度 $\mu_{-1}$ を用いて、Dirichlet指標の$p$-進積分を定義する。
• Washingtonの$p$-進積分表現を適用し、一般化されたEuler数 $E_{n,\chi}$ を $\int_{X^*} \chi(x) x^n d\mu_{-1}(x)$ として表現する。
• すべての $s \in \mathbb{Z}_p$ に対して、$\ell_{p,E}(s,\chi) = \int_{X^*} \chi(x) \langle x \rangle^{1-s} d\mu_{-1}(x)$ として、$p$-進Euler $\ell$-関数を定義する。
• 恒等式 $\ell_{p,E}(1-n,\chi) = (1 - p^n \chi_n(p)) \ell_E(-n, \chi_n)$ を用いて、$p$-進および複素$\ell$-関数を結びつける。
• Kummerの合同式と$p$-進連続性を用いて、$p$-進$\ell$-関数の存在および一意性を証明する。
• $p$-進Mellin変換の解釈を適用し、解析接続および特殊値の$p$-進補間を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 0$ に対して $\ell_E(-n, \chi_n)$ を補間する$p$-進Euler $\ell$-関数を構成できるか？
• RQ2 $p$-進積分と測度を用いて、$p$-進$\ell$-関数をどのように定義できるか？
• RQ3 $p$-進$\ell$-関数の $s = 0$ における導関数の値は何か？
• RQ4 $p$-進$\ell$-関数の正の整数における値は何か？
• RQ5 補間公式を通じて、$p$-進および複素$\ell$-関数はどのように関係するか？

主な発見

• $p$-進Euler $\ell$-関数 $\ell_{p,E}(s,\chi)$ は、$\mathbb{Z}_p$ 上の連続関数として一意に定義され、存在することが保証される。
• すべての $n \geq 1$ に対して $\ell_{p,E}(1-n,\chi) = (1 - p^n \chi_n(p)) \ell_E(-n, \chi_n)$ を満たし、$p$-進補間が確立される。
• $p$-進積分技法を用いて、$\ell_{p,E}(s,\chi)$ の $s = 0$ における導関数が明示的に計算される。
• $p$-進積分表現と指標和を用いて、$\ell_{p,E}(s,\chi)$ の正の整数における値が導出される。
• Euler数の$p$-進絶対値は $|E_n|_p \leq 1$ を満たし、$\mathbb{Z}_p$ 内での整数性が保証される。
• 積分の$p$-進連続性を用いて、一般化されたEuler数のKummerの合同式が構成によって確認される。