[論文レビュー] On the Behaviour of Stanley Depth under Variable Adjunction

Mihai Cipu, Muhammad Imran Qureshi|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多項式環における単項イデアルの新変数の付加後に、スタニーリー深さの新たな上界を確立する。主な対象は2つのクラスである：単項素イデアルの交叉と、次数2の正則バーローゼイデアル。posetの分解と区間分割を用いた組合せ的・代数的技法により、特に複数の変数を追加する場合（p ≥ 2）に、従来の結果を単純に繰り返し適用するのとは対照的に、明示的な有理数上界を導出し、それらを改善する。

ABSTRACT

Let $S=K[x_1,...,x_n]$ be a polynomial ring in $n$ variables over the field $K$. For integers $1\leq t< n$ consider the ideal $I=(x_1,...,x_t)\cap(x_{t+1}, ...,x_n)$ in $S$. In this paper we bound from above the Stanley depth of the ideal $I'=(I,x_{n+1},...,x_{n+p})\subset S'=S[x_{n+1},...,x_{n+p}]$. We give similar upper bounds for the Stanley depth of the ideal $(I_{n,2},x_{n+1},...,x_{n+p})$, where $I_{n,2}$ is the square free Veronese ideal of degree 2 in $n$ variables.

研究の動機と目的

• p個の新変数を付加した後のイデアルJのスタニーリー深さsdepth(J) + pという自明な上界を改善すること。
• I = (x₁,…,xₜ) ∩ (xₜ₊₁,…,xₙ)および正則バーローゼイデアルIₙ,₂という2つの特定のクラスについて、変数付加におけるスタニーリー深さの挙動を分析すること。
• p ≥ 2の場合に、sdepth(I′)およびsdepth((Iₙ,₂, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ))に対して、poset分割における組合せ最適化を用いて、よりきつい明示的上界を導出すること。
• これらの上界が、Ishakの結果を繰り返し適用した一般の上界よりもきつい条件を特定すること。
• 既知の結果と新たな解析を用いて、拡張されたバーローゼイデアル (Iₙ,₂, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ) に対してスタニリー予想が成り立つことを確認すること。

提案手法

• poset P_I′の区間分割を用いて、S′ = S[xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ]における拡張イデアルI′ = (I, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ)のスタニリー分解を構成する。
• sdepth(I′) ≤ 2 + [Δ] / [Ω] という公式を用い、ΔとΩはn, t, pの二項係数および2-および3要素部分集合の組合せ的数を含む有理関数である。
• 上界式の分母を最小化し分子を最大化する最適化技法を適用し、よりきつい推定値を得る。
• 不等式L ≤ Uの解析に際し、補助関数f₄, g₄, D, h₁, h₂および判別式を導入する。ここでLはsdepthの下界、Uは導出された上界である。
• コンピュータ支援代数を用いて、h = g₄²D - f₄²を4p³h₁h₂に因数分解し、h₁およびh₂の符号を解析してh ≥ 0となる条件を特定する。
• すべての許容されるtに対してh₁ < 0であることを証明し、h ≥ 0の条件をh₂ ≤ 0に簡略化する。これにより、t₃およびt₄を用いた最終的な上界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 I = (x₁,…,xₜ) ∩ (xₜ₊₁,…,xₙ) であり、p ≥ 2のとき、イデアル(I, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ)のスタニーリー深さの最もきつい可能な上界は何か？
• RQ2 p ≥ 2個の新変数が付加された場合、正則バーローゼイデアルIₙ,₂のスタニーリー深さはどのように変化するか？
• RQ3 p ≥ 2の場合に、sdepth(I′)の上界は、自明な上界sdepth(I) + pを上回ることができるか？
• RQ4 t, n, pに関するどのような条件下で、定理2.3の改善された上界が定理2.1の一般の上界よりもきつくなるか？
• RQ5 複数の変数を追加した後、イデアル(Iₙ,₂, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ)に対してスタニリー予想は成り立つか？

主な発見

• 本稿は、I′ = (I, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ)、I = (x₁,…,xₜ) ∩ (xₜ₊₁,…,xₙ) である場合のsdepth(I′)に対して明示的な上界を確立し、sdepth(I′) ≤ 2 + [binomial(n,3) - binomial(t,3) - binomial(n-t,3) + p·binomial(n,2) + n·binomial(p,2) + binomial(p,3)] / [t(n-t) + np - p(n+2)/4] が成り立つことを示している。
• 正則バーローゼイデアルIₙ,₂に対しては、sdepth((Iₙ,₂, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ)) ≤ 2 + binomial(n+p,3) / [binomial(n,2) + np - p - (p/2)·floor(binomial(n,3)/binomial(n,2))] が成り立つ。
• t, n, pに追加の制約を課した場合、定理2.3の上界はよりきつくなり、t ∈ [tₗ, tᵤ]という条件が成り立つ。ここでtₗおよびtᵤはnとpを含む二次式によって定義される。
• 著者らは、改善された上界が正確にt₃ ≤ t ≤ t₄のとき成り立つことを証明した。ここでt₃およびt₄は、h₂ ≤ 0から導かれるtに関する二次方程式の実数解である。
• 解析により、tがn/2に近い場合に特に、自明なsdepth(I) + pの上界よりも上界がきつくなることが確認された。
• Proposition 3.8により、sdepth(I′) ≥ depth(I′)がこのようなイデアルに対して成り立つことから、イデアル(Iₙ,₂, xₙ₊₁,…,xₙ₊ₚ)に対してスタニリー予想が確認された。