[論文レビュー] On the best possible Rosenthal-type bound

Iosif Pinelis|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Random Matrices and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、固定された2次モーメントおよびp次の絶対原モーメントのもとで、独立な平均0の確率変数の和のp次の絶対モーメントの正確な上界を確立する。無限に可分な分布に対する変分法を用いて、定数倍されたポアソン分布が最適な上界を達成することを証明する。パラメータはモーメント制約によって一意に決定される。

ABSTRACT

It is shown that, for any given $p\ge5$, $A>0$ and $B>0$, the exact upper bound on $\mathsf{E}|\sum X_i|^p$ over all independent zero-mean random variables (r.v.'s) $X_1,\ldots,X_n$ such that $\sum\mathsf{E}X_i^2=B$ and $\sum\mathsf{E}|X_i|^p=A$ equals $c^p\mathsf{E}|\Pi_{\lambda}-\lambda|^p$, where $(\lambda ,c)\in(0,\infty)^2$ is the unique solution to the system of equations $c^p\lambda=A$ and $c^2\lambda=B$, and $\Pi_{\lambda}$ is a Poisson r.v. with mean $\lambda$. In fact, a more general result is obtained, as well as other related ones. As a tool used in the proof, a calculus of variations of moments of infinitely divisible distributions with respect to variations of the Levy characteristics is developed.

研究の動機と目的

• 固定された2次モーメントおよびp次の絶対モーメントのもとで、独立な平均0の確率変数の和のp次の絶対モーメントの最良の上界を特定すること。
• この最適な上界を達成する分布を特徴づけ、それが定数倍されたポアソン確率変数から生じることを示すこと。
• Lévy特性に関する無限に可分な分布のモーメントに対する変分法フレームワークを構築すること。
• 漸近的または定性的な推定ではなく、正確かつ鋭い境界を与えることで、ローゼンタール型の不等式を一般化すること。

提案手法

• 与えられたモーメント制約AおよびBと関連するスケーリング定数cとポアソンの平均λの間の連立式を導出する。
• ポアソン分布のモーメント母関数を用いて、スケーリングされたポアソン確率変数のp次の絶対モーメントを表現する。
• 無限に可分な分布におけるLévy測度の無限小変化に対する変分法的手法を適用する。
• 最適な分布が、c^pλ = Aおよびc^2λ = Bを満たす解(λ, c)によって一意に特徴づけられることを確立する。
• 同じモーメント制約のもとで、他の独立な平均0の確率変数がこの値を超えることはできないことから、境界が鋭いことを証明する。
• 特定のケースにとどまらず、より広いクラスの無限に可分な分布へと結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≥ 5 に対して、∑E[Xi]^2 = Bおよび∑E|Xi|^p = A が固定されたすべての独立な平均0の確率変数について、E|∑Xi|^p の正確な上界は何か？
• RQ2 この境界を達成する最適な分布は、既知のパラメトリック族の観点から明示的に特徴づけられるか？
• RQ3 無限に可分な分布のLévy特性における変化を、モーメント最適化のために体系的に分析するにはどうすればよいか？
• RQ4 適切にスケーリングされたポアソン分布は、与えられたモーメント制約のもとでp次の絶対モーメントを最大にする唯一の分布か？
• RQ5 ローゼンタール型の不等式は、漸近的または定性的な推定ではなく、正確かつ鋭い境界を与えるように強化できるか？

主な発見

• E|∑Xi|^p の正確な上界は、c^p × E|Πλ − λ|^p で与えられ、(λ, c) は c^pλ = Aおよびc^2λ = B を満たす。
• 最適な分布は、スケーリング定数と強度がモーメント制約AおよびBによって一意に決定されるスケーリングされたポアソン確率変数である。
• 境界は鋭く、他の独立な平均0の確率変数の配置ではこの値を超えることはできないため、改善できない。
• 任意のp ≥ 5およびA, B > 0に対して、(0, ∞)^2 内に解(λ, c)が存在し、一意に定まる。
• Lévy特性に関する変分法フレームワークは、無限に可分な分布のモーメントの精密最適化を可能にする。
• 結果はより広いクラスの無限に可分な分布へと一般化され、鋭いモーメント境界の適用範囲が拡張される。