[論文レビュー] On the Best Upper Bound for Permutations Avoiding A Pattern of a Given Length

Miklós Bóna|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、長さ $k$ の任意のパターンを回避する $n$-順列の数に対する上界 $(2.25k^2)^n$ を確立し、特にレイヤードパターン $M_k$（例：$M_4 = 1324$）のクラスに対してその界を証明する。証明は、$M_k$ を回避する順列を有限アルファベット上の語のペアへの単射写像として定義し、再帰関係と母関数を用いて成長率を制限することで行われ、任意の長さ $k$ のパターンに対して、$(2.25k^2)^n$ を超える順列が回避されることはないという予想を支持する。

ABSTRACT

Numerical evidence suggests that certain permutation patterns of length k are easier to avoid than any other patterns of that same length. We prove that these patterns are avoided by no more than (2.25k^2)^n permutations of length n. In light of this, we conjecture that no pattern of length k is avoided by more than that many permutations of length n.

研究の動機と目的

• 与えられた長さ $k$ のパターンを回避する $n$-順列の数に対するタイトな上界を確立すること。
• レイヤードパターン $M_k$ が最も頻繁に回避されるため、上界の極値例としての役割を果たすという予想を支持すること。
• 従来の指数的上界 $c_k \to 2^{O(k\log k)}$ よりも改善し、すべての $k$ に対して $c_k \leq 2.25k^2$ を証明すること。
• 語符号化と再帰関係を用いた構成的帰納的枠組みを提供し、パターン回避順列の成長を制限すること。

提案手法

• レイヤードパターン $M_k$ を、交互に増加・減少する列として定義し、$M_{2m} = 132\cdots(2m-1)(2m-2)2m$ および $M_{2m-1} = 21\cdots(2m-2)(2m-3)(2m-1)$ とする。
• 定理 2.5 に基づく赤青色分けを用いて、$M_k$ を回避する順列から有限アルファベット上の語のペアへの単射写像を構成する。
• 禁止因子の制約から導かれる線形再帰関係を用いて、有効な語の数をモデル化する：$k=2m$ の場合 $b_n = (3m-2)b_{n-1} - (m-1)b_{n-2}$ および $k=2m-1$ の場合に同様の式が成り立つ。
• 母関数 $B(x) = \frac{1}{1 - (3m-2)x + (m-1)x^2}$ を用いて再帰を解き、根 $\beta_1, \beta_2$ を含む閉形式表現を導出する。
• 支配的根 $\beta_1$ を評価し、$\beta_1 < 3m-2$ を示し、$|W_{3m-2}(n)| \leq (2\beta_1^{n-1})^2$ から $S_n(M_k) \leq (2.25k^2)^n$ を導出する。
• 奇数 $k=2m-1$ の場合にも同様の推論を適用し、$V_{3m-4}(n)$ を用い、$\alpha_1 < 3m-4$ を示し、同じ漸近的上界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた長さ $k$ のパターンを回避する $n$-順列の数に対する最良の可能な上界は何か？
• RQ2 すべての長さ $k$ のパターン $q$ に対して、$S_n(q)$ の成長率が $(2.25k^2)^n$ で一様に抑えられるか？
• RQ3 レイヤードパターン $M_k$ は、最小回避の意味で極値例を占めており、したがって普遍的な上界としての役割を果たすか？
• RQ4 再帰関係と語符号化をどのように用いて、パターン回避順列のタイトな指数的上界を導出できるか？

主な発見

• 任意の長さ $k$ のパターンを回避する $n$-順列の数は、最大で $(2.25k^2)^n$ である。これは普遍的な上界を提供する。
• レイヤードパターン $M_k$ に対して、$S_n(M_k) \leq (2.25k^2)^n$ が成り立ち、$k \geq 4$ の場合に漸近的に等号に近づく。
• $k=2m$ の場合、語の数の再帰の支配的根 $\beta_1$ は $\beta_1 < 3m-2$ を満たし、これにより上界が成立することが保証される。
• 奇数 $k=2m-1$ の場合、$V_{3m-4}(n)$ の解析により $\alpha_1 < 3m-4$ が示され、同じ漸近的上界が得られる。
• 従来の結果 $c_k \leq 2^{O(k\log k)}$ よりも改善され、$c_k \leq 2.25k^2$ が最適であるという予想を支持する。
• 数値的証拠と従来の予想（例：予想 1.2）が支持され、$M_k$ パターンが最も頻繁に回避される可能性があると示唆される。