[論文レビュー] On the Bi-Hamiltonian Theory for the Harry Dym Equation

Marco Pedroni, Vincenzo Sciacca+1 more|ArXiv.org|Dec 17, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2つの可換なポアソン構造からなるポアソンペアを構成することで、ハリー・ダイム（HD）方程式の双ハミルトニアン構造を確立し、HD-KP階層——HDのためのKP階層の一般化——を導出する。また、HD-中心系と呼ばれる無限系統の常微分方程式系を導入し、KdVの場合と同様の線形化とτ関数の構成を可能にする。

ABSTRACT

We describe how the Harry Dym equation fits into the the bi-Hamiltonian formalism for the Korteweg-de Vries equation and other soliton equations. This is achieved by means of a certain Poisson pencil constructed from two compatible Poisson structures. We obtain an analogue of the Kadomtsev-Petviashivili hierarchy whose reduction leads to the Harry Dym hierarchy. We call such system the HD-KP hierarchy. Then, we construct an infinite system of ordinary differential equations (in infinitely many variables) that is equivalent to the HD-KP hierarchy. Its role is analogous to the one played by the Central System for the Kadomtsev-Petviashivili hierarchy.

研究の動機と目的

• KdVおよびKP階層の双ハミルトニアン枠組みをハリー・ダイム方程式へ拡張すること。
• 可換なポアソン構造からなるポアソンペアを構成し、HD階層を生成すること。
• 保存則と電流を用いて、KP階層の一般化としてHD-KP階層を定義すること。
• HD-KP階層と同値な常微分方程式系（HD-中心系）を導出し、線形化と可積分性解析を可能にすること。
• HD文脈における多項式τ関数の構成およびダーブォー被覆の探求の基盤を提供すること。

提案手法

• 標準的な双ハミルトニアン形式を用い、2つの可換なポアソン構造からポアソンペアを構成する。
• リッカティ方程式の解を用いて、無限個の可換ハミルトニアン流からなるHD階層を導出する。
• ローレンツ級数の空間に属する電流を用いて、HD-KP階層を無限系統の保存則系として定義する。
• 電流の係数に関する常微分方程式系（HD-CS）としての中心系を導入し、射影π′′₊とπ′′₋を用いる。
• 分解L = K′′₊ ⊕ K′′₋を用いて、電流の時間発展を∂tjK(l) = −π′′₋(K(j)K(l))と表現する。
• 空間化手続きを適用する：t₁ = xとおくことでHD-KP方程式が回復され、K(2) = z²を課すことで元のHD方程式が再現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハリー・ダイム方程式は、KdVおよびKP階層と整合する双ハミルトニアン枠組みにどのように埋め込まれるか？
• RQ2 HD-KP階層の構造は何か？ そして、HD方程式の文脈において、KP階層をどのように一般化するか？
• RQ3 HD-KP階層は、その全動的性質を捉える常微分方程式系に還元可能か？
• RQ4 中心系はHD階層の可積分性において果たす役割は何か？ そして、KdVの場合と比べてどのように異なるか？
• RQ5 電流およびその係数はどのように時間発展するか？ また、ファウ・ディ・ブルーポリノミアルのこの発展における意義は何か？

主な発見

• HD方程式は、2つの可換なポアソン括弧からなるポアソンペアを用いて導出された双ハミルトニアン構造を持つ。
• HD-KP階層は、ローレンツ級数空間K′′₊に属する電流を用いた無限系統の保存則系として構成される。
• HD-中心系は、∂tjK(l) = −π′′₋(K(j)K(l))（j,l ≥1）で与えられる非線形常微分方程式系（リッカティ型）として導出される。
• HD-中心系の流れは可換である。これは、K′′₊およびK′′₋における不変性により、電流上での交換子[Xj,Xl]が消えることから示される。
• t₁ = xとおくことでHD-KP階層が回復され、すべての流れが場k = K(1)のx微分で表現される。
• HD-中心系にK(2) = z²という制約を課すことで、元のリッカティ方程式およびHD階層が再現され、還元の鎖が完成する。