[論文レビュー] On the Bicriterion Maximum Flow Network Interdiction Problem

Luca E. Schäfer, Stefan Ruzika+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Bioeconomy and Sustainability Development被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、各アークに二つの独立した容量を持つ二目的最大フロー・ネットワーク遮断問題（BMFNI）を導入する。遮断者（interdictor）は、両方の最大フローを同時に最小化することを目的とする。著者らは、BMFNIがNP完全であることを証明し、二端点系列並列グラフ上で擬動的計画法に基づく擬時間的多項式時間アルゴリズムを構築した。さらに、遮断コストが単位コストの場合に、任意の精度でパレートフロントを近似可能な完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）に拡張した。

ABSTRACT

This article focuses on a biobjective extension of the maximum flow network interdiction problem, where each arc in the network is associated with two capacity values. Two maximum flows from a source to a sink are to be computed independently of each other with respect to the first and second capacity function, respectively, while an interdictor aims to minimize the value of both maximum flows by interdicting arcs. We show that this problem is intractable and that the decision problem, which asks whether or not a feasible interdiction strategy is efficient, is NP-complete. We propose a pseudopolynomial time algorithm in the case of two-terminal series-parallel graphs and positive integer-valued interdiction costs. We extend this algorithm to a fully polynomial-time approximation scheme for the case of unit interdiction costs by appropriately partitioning the objective space.

研究の動機と目的

• 二つの独立したアーク容量をもつ最大フロー・ネットワーク遮断問題の新しい二目的拡張を形式化・分析すること。
• BMFNIの計算複雑性、特に与えられた遮断戦略が効率的かどうかを特定する問題の難易度を調査すること。
• 二端点系列並列グラフ上でBMFNIを解くための動的計画法に基づくアルゴリズムを開発すること。
• 遮断コストが単位コストの場合に、そのアルゴリズムを完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）に拡張すること。
• 近似アルゴリズムにおけるギャップを埋めるために、任意の精度を持つ近似スキームを提供すること。

提案手法

• 二つの独立した最大フロー目的関数と単一の遮断予算をもつ二目的最適化問題としてBMFNIを形式化する。
• 二端点系列並列グラフの分解木を用いた動的計画法により、支配されない遮断戦略を計算する。
• 解の品質を制御し、真のパレート集合の(1+ε)-近似を保証するために、近似ラベル（Aε(H, x)）を用いたラベリング技法を適用する。
• 系列および並列演算による部分グラフの再帰的合成を用い、系列並列グラフの構造を活かして効率性を維持する。
• 動的計画法の各段階で支配されない解のみを保持するために、ラベルの支配性チェックを導入する。
• 目的空間を適切に分割し、フロー値を幾何学的丸め処理することで、擬時間的多項式アルゴリズムをFPTASに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BMFNIにおいて、与えられた遮断戦略が効率的かどうかを特定する意思決定問題は、NP完全であるか？
• RQ2 二端点系列並列グラフ上で、二目的最大フロー・ネットワーク遮断問題は擬時間的多項式時間で解けるか？
• RQ3 遮断コストが単位コストの場合に、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在するか？
• RQ4 系列並列グラフの構造は、BMFNIのための効率的な動的計画法の設計をどのように可能にするか？
• RQ5 特殊なグラフクラスにおいて、BMFNI問題は二目的ナップサック問題に還元可能か？

主な発見

• 二端点系列並列グラフでさえも、2頂点と複数の並列アークからなるグラフにおいても、効率的遮断戦略を特定する意思決定問題はNP完全である。
• 二端点系列並列グラフ上でのBMFNIは、擬時間的多項式時間の動的計画法を有する。
• 単位遮断コストの場合、提案されたアルゴリズムは、パレートフロントの(1+ε)-近似を達成可能な完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）に拡張可能である。
• FPTASの実行時間は、O(m³/ε² log²(mU) log(m/ε log(mU))) に加え、T・O(m³/ε² log²(mU)) で抑えられる。ここでTは1回の最大フロー問題を解くのに要する時間である。
• FPTASは、すべての計算された解が真の支配されない解の(1+ε)倍以内にあることを保証し、ラベル集合Aε(H, x)が近似誤差を有界に保つ。
• 特殊な場合において、問題は二目的ナップサック問題として定式化可能であり、既知の近似技法の適用が可能になる。