[論文レビュー] On the binomial convolution of arithmetical functions

László Tóth, Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、素因数分解に基づく多項係数を用いて定義される算術関数の二項畳み込みを導入し、その分析を行う。算術関数の二項畳み込みに関する代数構造は、古典的なディリクレ畳み込み代数と同型であることが示され、これにより新しいムーリング型の逆公式と、多項定理の乗法的アナログが得られる。

ABSTRACT

Let $n=\prod_p p^{ν_p(n)}$ denote the canonical factorization of $n\in \N$. The binomial convolution of arithmetical functions $f$ and $g$ is defined as $(f\circ g)(n)=\sum_{d\mid n} (\prod_p \binom{ν_p(n)}{ν_p(d)}) f(d)g(n/d),$ where $\binom{a}{b}$ is the binomial coefficient. We provide properties of the binomial convolution. We study the $\C$-algebra $({\cal A},+,\circ,\C)$, characterizations of completely multiplicative functions, Selberg multiplicative functions, exponential Dirichlet series, exponential generating functions and a generalized binomial convolution leading to various Möbius-type inversion formulas. Throughout the paper we compare our results with those of the Dirichlet convolution *. Our main result is that $({\cal A},+,\circ,\C)$ is isomorphic to $({\cal A},+,*,\C)$. We also obtain a "multiplicative" version of the multinomial theorem.

研究の動機と目的

• 算術関数の二項畳み込みの代数的および数論的性質を調査すること。
• 代数的構造および関数の挙動の観点から、二項畳み込みと古典的なディリクレ畳み込みを比較すること。
• 二項畳み込みの下での完全乗法的関数およびセルバーグ乗法的関数を完全に特徴づけること。
• 二項畳み込みの枠組みを用いて、新しいムーリング型の逆公式を開発すること。
• 算術関数の文脈において、二項畳み込みの下で多項定理の乗法的アナログを確立すること。

提案手法

• 二項畳み込みを $(f \circ g)(n) = \sum_{d|n} \left( \prod_p \binom{\nu_p(n)}{\nu_p(d)} \right) f(d)g(n/d)$ として定義する。ここで $\nu_p(n)$ は $p$-進付値を表す。
• 二項畳み込みとディリクレ畳み込みの間の重要な橋渡しとして、関数 $\xi(n) = \prod_p \nu_p(n)!$ を導入する。
• 写像 $f \mapsto f/\xi$ が、$({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ と $({\cal A}, +, *, \mathbb{C})$ の間の代数同型であることを証明する。
• 関係式 $f \circ g = \xi \cdot (f/\xi * g/\xi)$ を導出し、二項畳み込みをディリクレ畳み込みで表現する。
• 集合 $X$ 上の関数および写像 $\varphi_n: X \to X$ に対して、一般化畳み込み $f \boxdot \alpha$ を導入し、関数的ムーリング逆畳み込みを可能にする。
• 収束条件を確立し、$f$、$f^{-1\circ}$、および $\xi$ を含む二重級数の絶対収束の下で逆公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術関数の文脈において、二項畳み込みは代数的にディリクレ畳み込みとどのように比較できるか。
• RQ2 二項畳み込みの下での $\mathbb{C}$-代数 $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ の構造はいかなるものか。
• RQ3 二項畳み込みに対してムーリング型の逆公式を導出可能か。また、その収束条件は何か。
• RQ4 関数 $\xi(n) = \prod_p \nu_p(n)!$ は、二項畳み込みとディリクレ畳み込みを結ぶ上で果たす役割は何か。
• RQ5 算術関数の文脈において、二項畳み込みの下で多項定理の乗法的アナログは存在するか。

主な発見

• 二項畳み込みの下での $\mathbb{C}$-代数 $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ は、写像 $f \mapsto f/\xi$ を通じて、古典的なディリクレ畳み込み代数 $({\cal A}, +, *, \mathbb{C})$ と同型である。
• 二項畳み込みは完全乗法性を保ち、完全乗法的関数の集合は $\circ$ の下で部分群をなすが、$*$ の下ではそうではない。
• 定数関数 $I(n) = 1$ の二項畳み込みにおける逆元は、リウヴィル関数 $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ である。これはディリクレ畳み込みにおけるムーリング関数とは対照的である。
• 一般化されたムーリング型逆畳み込みが確立された：$\alpha(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{\xi(n)} \beta(\varphi_n(x))$ ならば、絶対収束の下で $\beta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{-1\circ}(n)}{\xi(n)} \alpha(\varphi_n(x))$ が成り立つ。
• 対称的なムーリング逆畳み込みが導出された：$f(n) = \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{\xi(m)} g(mn)$ かつ $\sum n^\varepsilon |g(n)| < \infty$ ならば、$g(n) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{\Omega(m)}}{\xi(m)} f(mn)$ が成り立ち、逆も同様である。
• 同型性および二項畳み込みの構造のおかげで、多項定理の乗法的アナログが導出された。