[論文レビュー] On the birational geometry for irreducible symplectic 4-folds related to the Fano schemes of lines

Kotaro Kawatani|ArXiv.org|Jun 3, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかな三次4次超曲面Yのラインのファノ多様体F(Y)を有限群の作用で商した、非可約シンプレクティック4次元多様体の双有理幾何を調査する。良い群作用がシンプレクティック形式を保存し、クリーパント解体を許容する場合、解体された多様体は一般化されたクーマー多様体やK3表面の点のヒルベルトスキームと双有理的であることを示し、幾何的構成とフロップ理論を用いて、新たなシンプレクティック4次元多様体の例を提供する。

ABSTRACT

There is two group actions on the Fano scheme of lines such that the quotient becomes an irreducible symplectic manifold. We showed that both quotients are birational to the generalized Kummer variety or the 2-points Hilbert scheme of a K3 surface.

研究の動機と目的

• 滑らかな三次4次超曲面Yのラインのファノ多様体F(Y)に作用する有限群Gのうち、シンプレクティック形式を保存し、クリーパント解体を許容するものを分類すること。
• GがF(Y)に良い作用を施すとき、クリーパント解体X̃_Gの双有理型を特定すること。
• 商と解体の手続きを用いて、非可約シンプレクティック4次元多様体の新たな例を構成すること。
• シンプレクティック幾何、モジュライ空間、およびホッジ構造や特異点といった幾何的不変量との関係を調査すること。
• 同一の解体X̃_Gに対して複数のシンプレクティック双有理的モデルが存在するか、特に基礎となる曲線が非同種である場合にその可能性を同定すること。

提案手法

• 滑らかな三次4次超曲面Yに対して、F(Y)が非可約シンプレクティック4次元多様体であることを示すBeauville-Donagiの定理を用いる。
• P⁵上での線形作用が三次形式を保存するように、Z₃およびZ₃⁴の群作用がF(Y)に誘導されることを分析する。
• アーベル・ジャコビ写像を用いて、H⁴(Y, C)とH²(F(Y), C)の間のコホロロジー関係を確立し、シンプレクティック形式の保存を検証する。
• ヒルベルト・チャウ写像と一般化されたクーマー構成を用い、アーベル多様体Aに対してKⁿ(A)を定義する。
• 18個の互いに交わらないP²に対してムカイフロップを適用し、X̃_Z₃ → K²(C×D)の双有理写像ψを構成する（C, Dは楕円曲線）。
• 群作用の解析と商幾何を用いて、解体X̃_GがE×EのZ₃商から得られるK3多様体SのヒルベルトスキームHilb²(S)と双有理的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群Gが三次4次超曲面のファノ多様体F(Y)に作用するとき、いつシンプレクティック形式を保存し、クリーパント解体を許容するか？
• RQ2 G = Z₃が三次形式に沿って対角スケーリングでF(Y)に作用するとき、クリーパント解体X̃_Gの双有理型は何か？
• RQ3 同一の解体X̃_Gに対して複数のシンプレクティック双有理的モデルが存在しうるか、特に基礎となる曲線が非同種である場合にその可能性は？
• RQ4 複素乗法を持つE×EへのZ₃作用がK3多様体Sをどのように導くか？また、X̃_GとHilb²(S)との双有理的関係は何か？
• RQ5 ムカイフロップは、X̃_Z₃とK²(C×D)との双有理同値性を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• G = Z₃が(z₀:…:z₅) ↦ (z₀:z₁:z₂:ζz₃:ζz₄:ζz₅)で作用するとき、商X_GはC×Dに沿ってA₂特異点を持ち、クリーパント解体X̃_Z₃を許容する。
• クリーパント解体X̃_Z₃は、三次形式fとgで定義される楕円曲線CとDの一般化されたクーマー多様体K²(C×D)と双有理的である。
• 18個の互いに交わらないP²に対するムカイフロップとして実現される自然な双有理写像ψ: X̃_Z₃ ⇢ K²(C×D)が存在する。
• CとDが非同種である場合、X̃_Z₃とK²(C×D)に加えて、追加の2つのシンプレクティック双有理的モデルX_IとX_IIが存在する。
• G = Z₃⁴がF(Y)に作用するとき、∑z_i³ = 0で定義される商X_Gはクリーパント解体X̃_Gを許容し、これはE×EのZ₃商から得られるK3多様体SのヒルベルトスキームHilb²(S)と双有理的である（E: z₀³ + z₁³ + z₂³ = 0）。
• K3多様体Sは、E×EへのZ₃作用(x,y) ↦ (ζx, ζ²y)によって構成され、シンプレクティック形式を保存し、クリーパント解体をもたらす。