[論文レビュー] On the birational geometry of varieties of maximal Albanese dimension

Christopher D. Hacon, Rita Pardini|ArXiv.org|May 9, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ジェネリック・ヴァンィッシング定理、フーリエ＝ムカイ変換、およびラインバンドのコホモロジー的条件を用いて、最大アリバノゼ次元をもつ多様体間の準同型写像の有効な双有理的条件を確立する。主な結果は、一般に有限な準同型写像がすべてのねじれラインバンドとそのコホモロジー群に沿って同型を誘導するならば、その写像は双有理的であることを示しており、コラールの予想を精緻化し、$P_3(X) = 2$ かつ $q(X) = \dim X$ を満たす多様体の完全な分類をもたらす。この分類により、このような多様体が、種数1のファイブレーションの2つのファイバー上に分岐するアーベル多様体の2重被覆として実現されることが明らかになる。

ABSTRACT

We study the birational geometry of varieties of maximal Albanese dimension. In particular we discuss criteria for a generically finite morphism of varieties of maximal Albanese dimension to be birational; we give a new characterization of Theta divisors; we study the Albanese map and refine some of the results of Kollár; finally we use these results to birationally classify varieties with $P_3(X)=2$ and $q(X)=dim (X)$. Our method combines the generic vanishing theorems of Green and Lazarsfeld, the theory of Fourier Mukai transforms and the results of Kollàr on higher direct images of dualizing sheaves.

研究の動機と目的

• 最大アリバノゼ次元をもつ多様体間の準同型写像が双有理的であるための有効な基準を提供すること。
• $P_2(X) = 1$ かつ $q(X) = \dim X$ を満たす多様体がアーベル多様体に双有理的であるというコラールの予想を精緻化すること。
• アーベル多様体のアリバノゼ写像と双有理的構造を用いて、$P_3(X) = 2$ かつ $q(X) = \dim X$ を満たす滑らかで投影的な多様体を分類すること。
• 多様体のペルリジェネラの条件を用いてアリバノゼ写像の全射性に関する有効な結果を拡張すること。

提案手法

• グリーンとラザルフェルドのジェネリック・ヴァンィッシング定理およびフーリエ＝ムカイ変換の理論を用いて、 canonical ファンクターのコホモロジー的挙動を分析する。
• すべての $P \in \operatorname{Pic}^0(Y)$ に対して $H^i(Y, \omega_Y \otimes P) \to H^i(X, f_*\omega_X \otimes P)$ の同型性を仮定し、$f: X \to Y$ の双有理的性を導出する。
• canonical バンドルの非消滅局所 $V^0(\omega_X)$ の構造を用いて、アリバノゼ写像とその引き戻しを分類する。
• アリバノゼ写像のスティーン因子化を分析し、像がアーベル多様体の2重被覆であり、指定された分岐局所を持つことを示す。
• コホモロジーにおける双対性およびカップ積構造を用いて、ねじれラインバンドの作用下でのコホモロジー群の同型性を検証する。
• コラールおよびカワマタによるアリバノゼ写像およびペルリジェネラの有効な境界に関する結果を応用し、全射性および双有理的性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大アリバノゼ次元をもつ多様体間の一般に有限な準同型写像が双有理的であるための、どのようなコホモロジー的条件が必要か？
• RQ2 滑らかで投影的な多様体 $X$ が $P_3(X) = 2$ かつ $q(X) = \dim X$ を満たすとき、その正確な双有理的構造は何か？
• RQ3 予想である $P_2(X) = 1$ かつ $q(X) = \dim X$ ならば $X$ はアーベル多様体に双有理的である、という命題を有効に精緻化または拡張できるか？
• RQ4 $\omega_X$ 及びそのねじれラインバンドによるねじれのコホモロジー的性質が、$X$ の双有理的幾何にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $P_2(X) = 1$ または $P_m(X) \leq 2m-3$（$m \geq 3$）のとき、アリバノゼ写像の構造は何か？

主な発見

• $n$ 次元の最大アリバノゼ次元をもつ多様体 $X$ と $Y$ 間の一般に有限な準同型写像 $f: X \to Y$ は、すべての $i \geq 0$ およびすべての $P \in \operatorname{Pic}^0(Y)$ に対して、$H^i(Y, \omega_Y \otimes P) \to H^i(X, f_*\omega_X \otimes P)$ が同型であるならば、双有理的である。
• 次元 $n+1$ のアーベル多様体 $A$ への写像 $\nu: X \to A$ は、像 $\bar{X}$ に沿って双有理的であり、$\bar{X}$ は主極性をもつ。条件は、$P \neq 0$ に対して $h^0(X, \omega_X \otimes \nu^*P) = 1$ であり、$\nu^*$ が $H^0(\Omega^n)$ に同型を誘導することである。
• 一般型の支配的準同型写像 $f: X \to Y$ で、$Y$ が最大アリバノゼ次元をもち、$P_2(X) = P_2(Y)$ ならば、$f$ は双有理的である。
• アリバノゼ写像 $\operatorname{alb}_X: X \to \operatorname{Alb}(X)$ は、$P_2(X) = 1$ またはある $m \geq 3$ に対して $0 < P_m(X) \leq 2m - 3$ ならば全射であり、これによりコラールの以前の結果が精緻化される。
• 滑らかで投影的な多様体 $X$ で $P_3(X) = 2$ かつ $q(X) = \dim X$ を満たすものは、アーベル多様体 $\operatorname{Alb}(X)$ の2重被覆に双有理的であり、ファイブレーション $\phi: \operatorname{Alb}(X) \to E$（$E$ は楕円曲線）の2つの異なるファイバー上に分岐する。これは $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{\operatorname{Alb}(X)} \oplus \phi^*L^{-1} \otimes P)$ で定義され、$L$ は次数1で、$P$ は $\phi^*\operatorname{Pic}^0(E)$ に属さない非自明な2階ねじれラインバンドである。
• 層 $\operatorname{alb}_{X*}\omega_X$ は $\mathcal{O}_{\operatorname{Alb}(X)} \oplus \tilde{L} \otimes P$ に同型であり、ここで $\tilde{L} = (f_*)^*L$ で、$L$ は $\operatorname{Alb}(Y)$ 上の主極性である。これは2重被覆構造を確認する。