[論文レビュー] On the Black's equation for the risk tolerance function

Sigrid Källblad, Thaleia Zariphopoulou|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Risk and Portfolio Optimization被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、多資産対象の対数正規市場モデルにおけるブラックのリスク許容度関数のための式について、非線形変換により熱方程式に帰着させることで、存在性、一意性、正則性、単調性の性質を包括的に分析する。主な貢献は、既知の結果および一般かつ完全単調な効用関数におけるリスク許容度のS字型および凸性の性質に関する、より短く直接的な証明を可能にする統一的なPDEフレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

We analyze a nonlinear equation proposed by F. Black (1968) for the optimal portfolio function in a log-normal model. We cast it in terms of the risk tolerance function and provide, for general utility functions, existence, uniqueness and regularity results, and we also examine various monotonicity, concavity/convexity and S-shape properties. Stronger results are derived for utilities whose inverse marginal belongs to a class of completely monotonic functions.

研究の動機と目的

• 多資産対象の対数正規市場モデルにおけるブラックのリスク許容度関数のための式を体系的に研究すること。
• リスク許容度PDEの解の存在性、一意性、正則性を確立すること。
• リスク許容度関数の単調性、凹凸性・凸性、およびS字型性を調査すること。
• 局所相対リスク許容度関数および完全単調な逆限界効用関数を有する効用関数への結果の拡張すること。
• 既知の結果に対するより短く直接的な証明を提供し、新たな正則性および依存関係の推定を導出すること。

提案手法

• 非線形変数変換を用いて非線形リスク許容度PDEを熱方程式に変換する：r(H(z,t),t) = Hx(z,t)。
• 調和関数Hに対して、古典的熱方程式理論（最大原理、対数凹凸性・凸性の保存、ゼロ集合の性質）を適用する。
• フィンマン＝カックの公式およびホルダーの不等式を用いて、解の対数凸性を証明する。
• プリェコパ＝レインダラーの不等式を用いて、熱フロー下での対数凹凸性の保存を確立する。
• 逆限界関数I(x) = ∫[α,β] x^{-y} dμ(y) を完全単調関数として扱い、より強い正則性および境界を導出する。
• 双対性手法を用いず、r²(x,t) の非線形PDEを直接用いて一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リスク許容度関数r(x,t) が、終端リスク許容度R(x) の単調性、凹凸性、または凸性をどのような条件下で継承するか。
• RQ2 リスク許容度関数r(x,t) は市場リスクプレミアム|λ|² にどのように依存するか。また、このパラメータに関して単調であるか。
• RQ3 r(x,t) 及びその相対的対応関数˜r(x,t) = r(x,t)/x の正則性および微分推定値は何か。
• RQ4 特に、完全単調な逆限界効用関数を有する効用関数のどのクラスにおいて、リスク許容度関数が良好に振る舞い、熱方程式変換によって解析可能となるか。
• RQ5 解r(x,t) はS字型の振る舞いを示すか。R(x) に対してどのような条件下でこの性質が保存されるか。

主な発見

• 終端リスク許容度R(x) にやや弱い条件が課されれば、ブラックのリスク許容度方程式の解は存在し、一意的であり、滑らか（空間に関してC²、時間に関してC¹）である。
• 変換r(H(z,t),t) = Hx(z,t) を用いることで、非線形PDEが線形熱方程式に帰着され、最大原理や対数凹凸性の保存といった古典的PDE理論の道具が使用可能になる。
• 終端リスク許容度R(x) が対数凸性を有するならば、任意のt < T に対してr(x,t) はxに関して対数凸性を保つ。R(x) が対数凹性を有するならば、r(x,t) に対しても同様に対数凹性が成り立つ。
• リスク許容度関数r(x,t) はxに関して厳密に増加し、|λ|² に関して厳密に減少する。|λ|² への依存は単調かつ凸的である。
• 逆限界I(x) = ∫[α,β] x^{-y} dμ(y) を有する効用関数に対して、Hx, Hxx, rxxx に対する明示的な推定値を含む、より強い正則性および微分境界が導出される。
• 従来の研究に比べ、r(x,t) の単調性および凹凸性の証明が著しく短縮され、時間単調性およびリスク許容度関数のS字型性に関する新たな結果が確立される。