[論文レビュー] On the blow-up for critical semilinear wave equations with damping in the scattering case

Kyouhei Wakasa, Borislav Yordanov|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$n \geq 2$ の $\mathbb{R}^n$ における時間に依存する散乱減衰を伴う臨界定常半線形波動方程式の解の爆発を確立する。$p = p_0(n)$（ストラウス指数）のとき、初期データが小さい解は有限時間で爆発することを証明する。この証明は、線形化された方程式に対するエネルギー推定と基本解の漸近解析を用いて、従来の非臨界定常結果を拡張したものである。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for semilinear wave equations with variable coefficients and time-dependent scattering damping in $\mathbf{R}^n$, where $n\geq 2$. It is expected that the critical exponent will be Strauss' number $p_0(n)$, which is also the one for semilinear wave equations without damping terms. Lai and Takamura (2018) have obtained the blow-up part, together with the upper bound of lifespan, in the sub-critical case $p

研究の動機と目的

• 臨界定常指数 $p = p_0(n)$ における散乱減衰付き半線形波動方程式の有限時間爆発という未解決問題を解消すること。
• 非臨界定常ケース（$p < p_0(n)$）における寿命上界推定を臨界定常ケース（$p = p_0(n)$）に拡張すること。
• 係数が変動する波動方程式の基本解の振る舞いを、$\int_0^\infty a(t)dt < \infty$ を満たす時間に依存する減衰係数 $a(t)$ を用いて分析すること。
• 線形化方程式 $L_a y = \lambda^2 y$ の基本解 $y_1(t,s;\lambda)$ および $y_2(t,s;\lambda)$ に対する両側境界を確立すること。
• 散乱減衰下でも爆発の臨界定常指数が依然としてストラウス指数 $p_0(n)$ のままであることを確認し、臨界定常ケースにおける予想を裏付けること。

提案手法

• 減衰関数 $A(t) = \int_0^t a(r)dr$ を用いて、恒等式 $(y_1' e^{A(t)})' = \lambda^2 y_1 e^{A(t)}$ を用いて、線形化された減衰波動方程式の基本解 $y_1(t,s;\lambda)$ に対する両側境界を導出する。
• 恒等式 $\left(y_1 e^{A(t)} - \int_s^t a(r)y_1 e^{A(r)} dr\right)'' = \lambda^2 \left(y_1 e^{A(t)} - \int_s^t a(r)y_1 e^{A(r)} dr\right)$ を用いて、$y_1(t,s;\lambda)$ に対する下界を確立する。
• ロンスキアン恒等式 $y_2 y_1' - y_2' y_1 = e^{A(s)-A(t)}$ を用いて、$y_2(t,s;\lambda)$ 及び $y_1(t,s;\lambda)$ に対する比の境界を導出する。
• $\|a\|_{L^1} < \infty$ の条件下で双曲線関数 $\cosh\lambda(t-s)$ および $\sinh\lambda(t-s)/\lambda$ との漸近的比較を適用する。
• 重要な不等式 $e^{-\|a\|_{L^1}} \cosh\lambda(t-s) \leq y_1(t,s;\lambda) \leq \cosh\lambda(t-s)$ を導出し、$y_1$ が定数倍の違いを除いて $\cosh\lambda(t-s)$ のように振る舞うことを示す。
• $y_2(t,s;\lambda)$ の導関数の恒等式を用いて、$e^{\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda} \geq y_2(t,s;\lambda) \geq e^{-2\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda}$ を証明し、$y_2$ の漸近的振る舞いを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散乱減衰付き半線形波動方程式の爆発臨界定常指数は、依然としてストラウス指数 $p_0(n)$ のままか？
• RQ2 非臨界定常ケース（$p < p_0(n)$）における寿命上界推定を臨界定常ケース（$p = p_0(n)$）に拡張できるか？
• RQ3 減衰係数 $a(t)$ が $[0,\infty)$ 上で可積分であるとき、減衰波動方程式の基本解はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 線形化方程式 $L_a y = \lambda^2 y$ の解 $y_1(t,s;\lambda)$ および $y_2(t,s;\lambda)$ に対する正確な両側境界は何か？
• RQ5 $p = p_0(n)$ のときの爆発結果は、非臨界定常ケースからの寿命推定と一致する意味で鋭いか？

主な発見

• 初期データが小さいとき、$p = p_0(n)$ の場合に、減衰波動方程式のコーシー問題の解は有限時間で爆発する。これはストラウスの予想の臨界定常ケースを確認するものである。
• 寿命 $T_\varepsilon$ は上界 $T_\varepsilon \leq C \varepsilon^{-2p(p-1)/\gamma(p,n)}$ を満たし、非臨界定常推定と一致しており、鋭さを示唆する。
• 基本解 $y_1(t,s;\lambda)$ は $e^{-\|a\|_{L^1}} \cosh\lambda(t-s) \leq y_1(t,s;\lambda) \leq \cosh\lambda(t-s)$ を満たし、定数倍の違いを除いて $\cosh\lambda(t-s)$ のように振る舞うことが示される。
• 解 $y_2(t,s;\lambda)$ は $e^{-2\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda} \leq y_2(t,s;\lambda) \leq e^{\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda}$ を満たし、$t-s \to \infty$ の漸近的振る舞いが確認される。
• ロンスキアン恒等式 $y_2 y_1' - y_2' y_1 = e^{A(s)-A(t)}$ は、$y_2/y_1$ 及び $y_2$ 自身の境界を導出する上で中心的な役割を果たす。
• 解析により、散乱減衰下でも爆発の臨界定常指数が $p_0(n)$ のままであることが確認され、非減衰状態からの結果が減衰状態へと拡張されたことが裏付けられる。