[論文レビュー] On the blowup and lifespan of smooth solutions to a class of 2-D nonlinear wave equations with small initial data

Jun Li, Ingo Witt+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期データが小さい2次元非線形波動方程式の滑らかな解の有限時刻 blowup を確立し、$ \varepsilon \to 0 $ のときの寿命 $ T_\varepsilon $ の明示的漸近式を導出する。$ c(u) = 1 + u + O(u^2) $ の場合、$ \varepsilon \sqrt{T_\varepsilon} \to \tau_0 $ であり、$ c(u) = 1 + u^2 + O(u^3) $ の場合、$ \varepsilon^2 \ln T_\varepsilon \to \nu_0 $ である。ここで $ \tau_0 $ および $ \nu_0 $ は初期データのフレイダーランド放射場に依存する。

ABSTRACT

We are concerned with a class of two-dimensional nonlinear wave equations $\p_t^2u-÷(c^2(u) a u)=0$ or $\p_t^2u-c(u)÷(c(u) a u)=0$ with small initial data $(u(0,x),\p_tu(0,x))=(\ve u_0(x), \ve u_1(x))$, where $c(u)$ is a smooth function, $c(0) ot =0$, $x\in\Bbb R^2$, $u_0(x), u_1(x)\in C_0^{\infty}(\Bbb R^2)$ depend only on $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, and $\ve>0$ is sufficiently small. Such equations arise in a pressure-gradient model of fluid dynamics, also in a liquid crystal model or other variational wave equations. When $c'(0) ot= 0$ or $c'(0)=0$, $c"(0) ot= 0$, we establish blowup and determine the lifespan of smooth solutions.

研究の動機と目的

• 小規模な初期データを伴う2次元非線形波動方程式の滑らかな解の寿命および blowup 潤滑を分析すること。
• 非線形性 $ c(u) $ の構造に応じて、$ \varepsilon \to 0 $ のときの寿命 $ T_\varepsilon $ の正確な漸近的挙動を特定すること。
• 初期データが小さい条件下で $ c'(0) \neq 0 $ または $ c''(0) \neq 0 $ のとき、解が有限時刻に blowup することを確立すること。
• 寿命を初期データのフレイダーランド放射場に関連づけ、解の特異性形成に物理的・解析的リンクを提供すること。
• 高次元における既知の blowup および寿命の結果を、減衰および分散推定が弱い臨界的2次元ケースに拡張すること。

提案手法

• 初期データ $ (\varepsilon u_0, \varepsilon u_1) $ が小さく、$ u_0, u_1 \in C_0^\infty(\mathbb{R}^2) $ が回転対称である2次元非線形波動方程式 $ \partial_t^2 u - \text{div}(c^2(u)\nabla u) = 0 $ を分析する。
• 初期データのルダン変換を介して定義されるフレイダーランド放射場 $ F_0(\sigma) $ を用いて、特徴線に沿った回転対称な系に問題を還元する。
• 点での微分の減衰を制御し、回転対称設定におけるエネルギー推定を導出するために、クライナーマン＝ソボレフ不等式を適用する。
• 一般化されたグローヴァルおよびODEの blowup 準拠基準（補題A.4）を用い、放射場が非ゼロであれば解が大域的に存在できないことを示す。
• 特徴線に沿う解の挙動を分析し、blowup 時刻を $ F_0' $ または $ F_0 F_0' $ の最小値に関連付けることで、寿命の漸近的性質を導出する。
• エネルギー保存則と、$ F_0' < 0 $、$ F_0'' > 0 $ である区間における比較的議論を用い、大域的解の存在を仮定した場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な回転対称初期データを伴う2次元非線形波動方程式の滑らかな解の漸近的寿命 $ T_\varepsilon $ は何か？
• RQ2 非線形性 $ c(u) $、特に $ c'(0) \neq 0 $ または $ c''(0) \neq 0 $ の場合、blowup 時刻にどのように影響を与えるか？
• RQ3 寿命は初期データのフレイダーランド放射場を用いて明示的に特徴付けられるか？
• RQ4 どのような条件下で、初期データが小さくても解は大域的に存在しなくなるか？
• RQ5 2次元における分散および減衰性質は、高次元と比較して blowup 機序にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $ c(u) = 1 + u + O(u^2) $ の場合、寿命は $ \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon \sqrt{T_\varepsilon} = \tau_0 = -\frac{1}{2 \min_\sigma F_0'(\sigma)} $ を満たす。ここで $ F_0 $ は初期データのフレイダーランド放射場である。
• $ c(u) = 1 + u^2 + O(u^3) $ の場合、寿命は $ \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^2 \ln T_\varepsilon = \nu_0 = -\frac{1}{2 \min_\sigma \{ F_0(\sigma) F_0'(\sigma) \}} $ を満たす。
• 初期データが $ u_0 \not\equiv 0 $ または $ u_1 \not\equiv 0 $ であれば、フレイダーランド放射場 $ F_0 $ が非ゼロでかつ無限遠で減衰するため、滑らかな解は有限時刻に blowup する。
• blowup 機序は、初期データの台から発する特徴線に沿ったエネルギーの集中によって駆動され、blowup 時刻は $ F_0' $ または $ F_0 F_0' $ の最小値によって決定される。
• $ c(u) = 1 + O(u^3) $ の場合、方程式は大域的滑らかな解を有するため、2次元では $ u^2 $-非線形性が blowup の臨界的要因であることが示唆される。
• 証明は、エネルギー保存則と特徴線に沿う解の挙動に基づく背理法に依拠しており、$ Q(\tau, l) \to -\infty $ が $ F_0' $ の凸性と矛盾することを示している。