[論文レビュー] On the Bott-Chern and Aeppli cohomology

Daniele Angella|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、基本クラスへの統合とウェッジ積によって誘導される非退化なペアリングとしてのシュバイツァーの定性的性質——ボット＝チェルンコhomologyにおける——を導入し、コンパクト複素多様体上で $δ\overline{\partial}$-レムマが成り立つことを特徴づけることを証明する。また、ホッジ数を用いたボット＝チェルンおよびエーププリ・コホモロジー次元の定量的評価を確立し、これらのコホモロジーの差がゼロとなるのは、$δ\overline{\partial}$-レムマが成り立つときかつそのときに限ることを示す。

ABSTRACT

This survey summarizes the results discussed in a talk at "Bielefeld Geometry & Topology Days" held at Bielefeld University in July 2015. We are interested in quantitative and qualitative properties of Bott-Chern cohomology. We announce new results obtained in [D. Angella, N. Tardini, Quantitative and qualitative cohomological properties for non-Kähler manifolds, arXiv:1507.07108] jointly with Nicoletta Tardini. In particular, we prove an upper bound of the dimensions of Bott-Chern cohomology in terms of Hodge numbers. We also introduce a notion, called Schweitzer qualitative property, which encodes the existence of a non-degenerate pairing in Bott-Chern cohomology, like the Poincaré duality for the de Rham cohomology. We show that this property characterizes the $\partial\overline\partial$-Lemma.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体のボット＝チェルンおよびエーププリ・コホモロジーに含まれる幾何学的・位相的情報を理解すること。
• ホッジ数を用いたボット＝チェルン・コホモロジー次元の定量的評価を確立すること。
• ボット＝チェルン・コホモロジーにおける非退化なペアリングを捉える、新しい定性的性質——シュバイツァーの性質——を導入・分析すること。
• $δ\overline{\partial}$-レムマをコホモロジー次元の定量的差異と定性的な双対性の性質の両方で特徴づけること。
• ボット＝チェルン・コホモロジーの代数的構造と、非ケーラー幾何におけるフォーマリティおよびマッセイ積との関係を調査すること。

提案手法

• ホッジ数の和を用いて、$k$次元におけるボット＝チェルン・コホモロジー次元の上界を導出する。式は $\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_A(X) \leq (n+1)\left(\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X) + \sum_{p+q=k+1}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X)\right)$ で表される。
• シュバイツァーによるボット＝チェルンとエーププリ・コホモロジー間の双対性を用い、$δ\overline{\partial}$-レムマの特徴づけをボット＝チェルン・コホモロジーのみに還元する。
• シュバイツァーの定性的性質として、ボット＝チェルン・コホモロジー上のペアリング $H^{\bullet,\bullet}_{BC}(X) \times H^{\bullet,\bullet}_{BC}(X) \to \mathbb{C}$, $([\alpha],[\beta]) \mapsto \int_X \alpha \wedge \beta$ の非退化性を導入する。
• ボット＝チェルンとエーププリ・コホモロジー次元の差に定量的評価を適用し、この差がゼロとなるのは、$δ\overline{\partial}$-レムマが成り立つときかつそのときに限ることを示す。
• シュバイツァーが確立したボット＝チェルンとエーププリ・コホモロジー間の双対性に依拠し、ペアリングの性質と $δ\overline{\partial}$-レムマを関連付ける。
• コンパクト複素多様体上の微分形式の二重複体の構造を用い、コホモロジー不変量をフォーマリティや双対性といった幾何的性質に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体上でのボット＝チェルン・コホモロジー次元とホッジ数の定量的関係は何か？
• RQ2 $δ\overline{\partial}$-レムマは、ボット＝チェルンとエーププリ・コホモロジー次元の差にゼロとなる条件によって特徴づけられるか？
• RQ3 ボット＝チェルン・コホモロジーに非退化なペアリングが存在することは、$δ\overline{\partial}$-レムマを意味するか？
• RQ4 シュバイツァーの定性的性質は、複素幾何におけるポincare双対性とセール双対性とどのように関係するか？
• RQ5 ボット＝チェルン・コホモロジーの代数的構造は、代表元や調和形式を用いて具体的に実現可能か？その結果、フォーマリティに何が意味するか？

主な発見

• ホッジ数を用いて、$k$次元におけるエーププリ・コホモロジー次元の上界を確立する。式は $\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_A(X) \leq (n+1)\left(\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X) + \sum_{p+q=k+1}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X)\right)$ で表される。
• 和 $\sum_{p+q=k}\left(\dim H^{p,q}_{BC}(X) - \dim H^{p,q}_A(X)\right)$ は、ホッジ数によって上界および下界からも評価可能であり、この差がゼロとなるのは、$δ\overline{\partial}$-レムマが成り立つときかつそのときに限る。
• ボット＝チェルン・コホモロジー上でのペアリング $([\alpha],[\beta]) \mapsto \int_X \alpha \wedge \beta$ の非退化性——シュバイツァーの定性的性質——が、$δ\overline{\partial}$-レムマを特徴づける。
• 和 $\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left|\sum_{p+q=k}\left(\dim H^{p,q}_{BC}(X) - \dim H^{p,q}_A(X)\right)\right| = 0$ が成り立つのは、$δ\overline{\partial}$-レムマが満たされるときかつそのときに限る。
• シュバイツァーの定性的性質は、定量的評価とボット＝チェルンとエーププリ・コホモロジー間の双対性を組み合わせることで、$δ\overline{\partial}$-レムマを示唆する。
• $δ\overline{\partial}$-レムマをシュバイツァーの性質によって特徴づけることで、ポincare双対性に類似したが、ボット＝チェルン・コホモロジーに適合された新しい代数的基準が得られる。