[論文レビュー] On the Bott-Chern characteristic classes for coherent sheaves

Hua Qiang|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素多様体上の coherent sheaf に対して、cohesive モジュール上の superconnection を用いて Bott-Chern 特性類を構成する。これは、coherent sheaf の有界導来カテゴリの dg-enhancement である。導来同値性の下での不変性を確立し、古典的な転送公式を一般化し、Bott-Chern 共通巾を用いて特徴的類を正則なベクトルバンドルから coherent sheaf へ拡張する。

ABSTRACT

Using the concept of a cohesive module defined by Block, we use the theory of superconnections in the sense of Quillen to construct natural superconnections on Hermitian cohesive modules. By the Chern-Weil construction, we obtain characteristic classes with values in Bott-Chern cohomology which refines the usual deRham cohomology. The main result of this paper shows that such characteristic classes are independent of the Hermitian metric and only dependent on the homotopy class of the cohesive module in the homotopy category. This extends the Bott-Chern cohomology to the bounded derived category of complexes of analytic sheaves with coherent cohomology. We also constructed secondary Bott-Chern characteristic forms and the main technical theorem proves that they are well defined.

研究の動機と目的

• 正則なベクトルバンドルから複素多様体上の coherent sheaf への Bott-Chern 特性類の拡張を図る。
• cohesive モジュールによる dg-enhancement を用いて、coherent sheaf の有界導来カテゴリの対象に対する特性類を定義する。
• Bott-Chern と Donaldson の二重転送公式を cohesive モジュールの設定へ一般化する。
• これらの特性類が導来同値性の下でも不変であることを証明し、coherent sheaf に対してwell-definedであることを保証する。
• Hermitian cohesive モジュール上の superconnection に対して、Chern-Weil 型の構成を確立し、Bott-Chern 共通巾と関連付ける。

提案手法

• Hermitian 構造と整合性を持つ、一意なユニタリ Chern superconnection を Hermitian cohesive モジュール上に構成する。
• cohesive モジュールの自己準同型値をとる微分形式に、特異的次数を導入し、次数 0 の曲率を定義する。
• superconnection に対する Chern-Weil 理論を適用し、Bott-Chern 共通巾における特性形式を生成する。
• Hermitian 計量の空間上の Maurer-Cartan 形式を含む、普遍的な Bott-Chern 転送公式を導出する。
• 曲率と計量の変動を用いて、二次特性類に対する Donaldson 型の転送公式を確立する。
• 写像コーンと正則化を用いて特異性を除去し、ホモトピー同値性の下での不変性を解析することで、不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bott-Chern 特性類は、非射影的複素多様体上の正則ベクトルバンドルから coherent sheaf へ拡張可能か？
• RQ2 cohesive モジュール上の superconnection を用いて、Bott-Chern 共通巾における特性類をどのように定義できるか？
• RQ3 これらの特性類は、cohesive モジュール上の Hermitian 計量の選び方に依存しないか？
• RQ4 これらの類は、導来同値性（すなわち cohesive モジュールの dg 圏におけるホモトピー同値性）の下でも不変か？
• RQ5 Bott-Chern と Donaldson の古典的二重転送公式は、cohesive モジュールの設定へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、Hermitian 構造と整合する一意なユニタリ Chern superconnection を Hermitian cohesive モジュール上に構成する。
• superconnection の曲率を用いて定義される特性形式は Bott-Chern 共通巾に値を取り、二重転送公式により Hermitian 計量の選びに依存しないことが示された。
• Bott-Chern 転送公式は古典的結果を一般化し、特性形式の微分が Maurer-Cartan 形式を含む $ar{ abla} abla$-正確な項で与えられることを示した。
• 二次特性類に対する Donaldson 型の転送公式が確立され、それが Bott-Chern 共通巾において well-defined であることが示された。
• ホモトピー同値性の写像コーンの特性類は Bott-Chern 共通巾において 0 に等しく、導来同値性の下での不変性が証明された。
• 主結果として、coherent sheaf の Bott-Chern 特性類が well-defined であり、cohesive モジュールの代表元や Hermitian 構造の選び方に依存しないことが確立された。