[論文レビュー] On the boundary theory of subordinate killed Lévy processes

Panki Kim, Renming Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有界な領域 $D\subset\mathbb{R}^d$, $d\geq2$ で killed された subordinate Brownian motion を最初に作り、その後、Laplace 指数 $\psi$ を持つ subordinator を用いてその過程を subordinate することによって得られる subordinate killed Lévy process $Y^D$ の境界ポテンシャル理論を調査する。$\psi$ と $\phi$ に弱スケーリング条件を課したもとで、Green 関数とジャンピングカーネルの鋭い両側推定を確立し、$\kappa$-fat 領域におけるハーナック不等式の証明、追加の体積条件のもとでの Carleson 推定の証明、および $\psi$ の下位弱スケーリング指数が $1/2$ を超えるときの滑らかな領域における境界ハーナック原理の証明を行う。顕著な点として、$\psi(\lambda)=\lambda^\gamma$ で $\gamma\leq1/2$ の場合、境界ハーナック原理が成り立たないことを示しており、Carleson 推定は成り立つが境界ハーナック原理は成り立たないという初めての例を提供している。

ABSTRACT

Let $Z$ be a subordinate Brownian motion in ${\mathbb R}^d$, $d\ge 2$, via a subordinator with Laplace exponent $ϕ$. We kill the process $Z$ upon exiting a bounded open set $D\subset {\mathbb R}^d$ to obtain the killed process $Z^D$, and then we subordinate the process $Z^D$ by a subordinator with Laplace exponent $ψ$. The resulting process is denoted by $Y^D$. Both $ϕ$ and $ψ$ are assumed to satisfy certain weak scaling conditions at infinity. We study the potential theory of $Y^D$, in particular the boundary theory. First, in case that $D$ is a $κ$-fat bounded open set, we show that the Harnack inequality holds. If, in addition, $D$ satisfies the local exterior volume condition, then we prove the Carleson estimate. In case $D$ is a smooth open set and the lower weak scaling index of $ψ$ is strictly larger than $1/2$, we establish the boundary Harnack principle with explicit decay rate near the boundary of $D$. On the other hand, when $ψ(λ)=λ^γ$ with $γ\in (0,1/2]$, we show that the boundary Harnack principle near the boundary of $D$ fails for any bounded $C^{1,1}$ open set $D$. Our results give the first example where the Carleson estimate holds true, but the boundary Harnack principle does not. One of the main ingredients in the proofs is the sharp two-sided estimates of the Green function of $Y^D$. Under an additional condition on $ψ$, we establish sharp two-sided estimates of the jumping kernel of $Y^D$ which exhibit some unexpected boundary behavior. We also prove a boundary Harnack principle for non-negative functions harmonic in a smooth open set $E$ strictly contained in $D$, showing that the behavior of $Y^D$ in the interior of $D$ is determined by the composition $ψ\circ ϕ$.

研究の動機と目的

• killed Lévy process を subordinate することによって得られる非局所的 Lévy process のクラスの境界ポテンシャル理論を構築すること。
• このような過程に対して、有界領域の境界付近における調和関数の振る舞いを理解すること。
• ハーナック不等式、Carleson 推定、境界ハーナック原理といった主要な境界推定が成り立つか、成り立たないかの条件を特定すること。
• 過程 $Y^D$ の Green 関数とジャンピングカーネルの鋭い両側推定を確立し、予期しない境界挙動を明らかにすること。

提案手法

• 過程 $Y^D$ は、まず有界領域 $D$ で killed された subordinate Brownian motion $Z$ を得るための $Z^D$ を作り、次に $Z^D$ を Laplace 指数 $\psi$ を持つ subordinator で subordinate することによって構成される。
• 解析は、subordinator の Laplace 指数 $\phi$ と $\psi$ における弱スケーリング条件に依存しており、これにより基礎となる過程の正則性が保証される。
• subordinator の潜在測度の利用を含む確率的および解析的技法を用いて、$Y^D$ の Green 関数の鋭い両側推定が導出される。
• 境界ハーナック原理は、内部挙動の主要な生成子としての $\psi\circ\phi$ の合成関数を用いた調和関数の比較によって確立される。
• 領域 $D$ に局所的外部体積条件がある場合、積分推定とジャンピングカーネルの構造を用いて、Carleson 推定が証明される。
• $\psi(\lambda)=\lambda^\gamma$, $\gamma\leq1/2$ の場合に境界ハーナック原理が成立しないことは、テスト関数と漸近的推定を用いた背理法によって示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 subordinate killed された過程 $Y^D$ の調和関数に対して、$\kappa$-fat 領域 $D$ においてハーナック不等式が成り立つ条件は何か？
• RQ2 局所的外部体積条件を満たす領域 $D$ において、$Y^D$ の非負調和関数に対して Carleson 推定が成り立つ条件は何か？
• RQ3 滑らかな領域 $D$ に対して、$Y^D$ の境界ハーナック原理の減衰率は何か？ また、これは $\psi$ の下位弱スケーリング指数にどのように依存するか？
• RQ4 Carleson 推定が成り立つにもかかわらず、境界ハーナック原理が成り立たないことはあり得るか？ もしあるならば、$\psi$ にどのような条件下で成立するか？
• RQ5 $Y^D$ の内部挙動は、subordinator の Laplace 指数の合成 $\psi\circ\phi$ とどのように関係するか？

主な発見

• 弱スケーリング条件を $\phi$ と $\psi$ に課したもとで、任意の $\kappa$-fat な有界領域 $D\subset\mathbb{R}^d$, $d\geq2$ において、$Y^D$ の非負調和関数に対してハーナック不等式が成り立つ。
• 領域 $D$ が局所的外部体積条件を満たす場合、$\psi$ が弱スケーリング条件を満たす限り、$Y^D$ に対して Carleson 推定が成り立つ。
• 滑らかな領域 $D$ に対して、$\psi$ の下位弱スケーリング指数が $1/2$ を超えるとき、境界ハーナック原理は $\Phi(\delta_D(x))^{1/2}$ に比例する明示的な減衰率を伴って成り立つ。
• $\psi(\lambda)=\lambda^\gamma$ で $\gamma\in(0,1/2]$ の場合、任意の有界な $C^{1,1}$ 領域 $D$ に対して境界ハーナック原理は成り立たないが、Carleson 推定は依然として成り立つ。
• 弱スケーリング条件を $\psi$ に課したもとで、$Y^D$ の Green 関数の鋭い両側推定が確立され、境界からの距離に非自明な依存関係が明らかになった。
• さらに $\psi$ に追加の条件を課した場合、$Y^D$ のジャンピングカーネルは鋭い両側推定を満たし、対数的およびべき乗的特異性を示す予期しない境界挙動を示す。