[論文レビュー] On the Boundary Value Problem with the Operator in Boundary Conditions for the Operator-Differential Equation of the Third Order

А. Р. Алиев, Sevindj F. Babayeva|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、半直線上における3階作用素微分方程式の境界条件が有界線形作用素 K によって摂動される場合の正則可解性を調査する。Sobolev型空間における関数解析および自己共役作用素のスペクトル論を用いて、解の一意的かつ安定的解法が保証される十分条件を確立した。特に、摂動作用素のノルムと臨界不等式が、重み付き空間 $ W_2^3(R_+; H; A) $ 内での解の正則可解性に与える影響を明らかにした。

ABSTRACT

In this paper the boundary value problem for one class of the operator-differential equations of the third order on a semi-axis, where one of the boundary conditions is perturbed by some linear operator is researched. There are received sufficient conditions on the operator coefficients of the considered boundary value problem, providing its correct and univalent resolvability in Sobolev type space.

研究の動機と目的

• 3階作用素微分方程式の境界条件が作用素値である場合の研究が不足していることに対処すること。特に、線形粘弾性流体力学の文脈において。
• ヒルベルト空間における奇数階微分方程式の境界値問題の理論を、作用素係数を有する場合に拡張すること。
• 有界線形作用素 K が第2の境界条件に与える影響を分析すること。これは標準的な初期条件 $ u'(0) = 0 $ を変更する。
• 空間 $ W_2^3(R_+; H; A) $ 内で、問題の一意的かつ安定的（正則的）可解性を保証する十分条件を確立すること。
• 既存の2階方程式に関する結果を、特に摂動された境界条件下で3階の場合に一般化すること。

提案手法

• 半直線 $ R_+ $ 上における3階作用素微分方程式の境界値問題を定式化する。$ u'''(t) - A^3u(t) + \sum_{j=1}^3 A_j u^{(3-j)}(t) = f(t) $ であり、$ A $ は自己共役かつ正定値作用素である。
• 解空間 $ W_2^3(R_+; H; A) $ を、3階導関数および $ A^3u $ が平方可積分である関数の完備化として定義し、両者の項を組み合わせたノルムを備える。
• 第2の境界条件が $ u'(0) = Ku $ となるように変更された解空間 $ \mathop{W_{2;K}^{3}}\limits^{o}(R_+; H; A) $ を導入する。ここで $ K \in L(W_2^3(R_+; H; A), H_{3/2}) $ である。
• 中間微分の理論およびトレース定理を用いて、$ t = 0 $ における $ u $, $ u' $, $ u'' $ の挙動を制御し、分数階ヒルベルトスケールへの連続性を保証する。
• 作用素分解 $ P = P_0 + P_1 $ を用いる。ここで $ P_0 = d^3/dt^3 - A^3 $, $ P_1 = \sum A_j u^{(3-j)} $ であり、$ P_0 $ が $ \mathop{W_{2;K}^{3}}\limits^{o} $ から $ L_2(R_+; H) $ への同型写像であることを証明する。
• 微小摂動法を適用する。$ P = P_0(I + P_0^{-1}P_1) $ が可逆であることを示すためのスペクトル的条件 $ \alpha(\kappa) < 1 $ を導出する。ここで $ \alpha(\kappa) $ は作用素ノルムおよび $ \kappa = \|K\| $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件が $ u'(0) = Ku $ に摂動された場合、3階作用素微分方程式 $ u''' - A^3u + \sum A_j u^{(3-j)} = f $ が $ R_+ $ 上で正則可解となる条件は何か？
• RQ2 境界条件に有界線形作用素 $ K $ が存在する場合、Sobolev型空間 $ W_2^3(R_+; H; A) $ 内での解の可解性および安定性に与える影響は何か？
• RQ3 係数 $ A_j $ に対して、$ B_j = A_j A^{-j} $ を用いて表現された十分条件は何か？ これにより、全作用素 $ P = P_0 + P_1 $ の可逆性が保証される。
• RQ4 ヒルベルトスケールにおける中間微分およびトレース定理の理論を用いて、データ $ f $ に対して解の均一な推定式を導出できるか？
• RQ5 既知の2階方程式に関する結果（例えば、Gasymov, Mirzoev, Yakubov らの結果）を、作用素値境界条件を有する3階の場合に一般化できるか？

主な発見

• 作用素 $ P_0 = d^3/dt^3 - A^3 $ は、$ \mathop{W_{2;K}^{3}}\limits^{o}(R_+; H; A) $ から $ L_2(R_+; H) $ への同型写像であり、摂動のない問題の適切な定式化を保証する。
• 解は推定式 $ \|u\|_{W_2^3(R_+; H; A)} \leq C \|f\|_{L_2(R_+; H)} $ を満たす。ここで $ C $ は $ \kappa = \|K\| $, $ \kappa < 1 $, および $ B_j = A_j A^{-j} $ のノルムに依存する。
• 正則可解性の十分条件として、$ \alpha(\kappa) = \sum_{j=0}^{2} C_j(\kappa) \|B_{3-j}\|_{H\to H} < 1 $ が得られた。ここで $ C_j(\kappa) $ はトレースおよび補間不等式から導かれる明示的な定数である。
• $ K = 0 $ の場合、条件は $ \alpha(0) = \frac{2^{1/3}}{3^{1/2}} (\|B_1\| + \|B_2\|) + \|B_3\| < 1 $ に簡略化され、以前の研究で得られた結果を回復する。
• 中間微分（例：$ \|A^{3-j} u^{(j)}\|_{L_2} $）の明示的推定式が得られ、補間論において独立に重要な意義を有する。
• 理論は、自己共役作用素 $ A $ によって生成されるヒルベルトスケール $ H_\gamma $ 内で有効であり、さまざまな物理的モデルに適用可能な一般な関数解析的枠組みを提供する。