[論文レビュー] On the Brezis-Nirenberg type critical problem for nonlinear Choquard equation

Fashun Gao, Minbo Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、リーズ核から生じる非局所項を有する非線形チョウカールド方程式に対して、Brezis-Nirenberg型臨界非線形性に関する解の存在および非存在結果を確立する。変分法およびHardy-Littlewood-Sobolev不等式を用いて、パラメータλが第一固有値未満の正の値である場合に非自明な解の存在を証明し、領域が厳密に星型である場合にはλ < 0のとき非自明な解が存在しないことを示す。

ABSTRACT

We establish some existence results for the Brezis-Nirenberg type problem of the nonlinear Choquard equation $$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy ight)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λu\4.14mm\mbox{in}\1.14mm Ω, $$ where $Ω$ is a bounded domain of $\mathbb{R}^N$, with Lipschitz boundary, $λ$ is a real parameter, $N\geq3$, $2_μ^{\ast}=(2N-μ)/(N-2)$ is the critical exponent in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

研究の動機と目的

• 非線形チョウカールド方程式に対して、Brezis-Nirenberg型臨界非線形性を有する非自明な解の存在を調査すること。
• 古典的なBrezis-Nirenbergの結果をリーズ核によって支配される非局所設定に拡張すること。
• 特にλ < 0の場合に、パrameter λ が解の存在および非存在に与える役割を分析すること。
• ブートストラップ法およびHardy-Littlewood-Sobolev不等式を用いて、解の正則性および可積分性の性質を確立すること。
• 非局所チョウカールド方程式に対してPohožaev型の恒等式を導出し、領域の幾何的条件のもとで非存在結果を導出すること。

提案手法

• Sobolev空間$ H_0^1(\bar{\Omega}) $における関連エネルギー汎関数を通じて、変分的枠組みを用いて問題を考察する。
• 非局所項$ \int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^*}}{|x-y|^\mu} dy $の適切な定義を保証するために、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式を適用する。
• HLS不等式から導かれる臨界指数$ 2_{\mu}^* = \frac{2N - \mu}{N - 2} $を用いて非線形性を定義する。
• 集中・コンパクトネスの原理およびマウンテンパス補題を用いて、$ \lambda \in (0, \lambda_1) $のとき非自明な解の存在を証明する。
• 部分積分およびベクトル場の議論を用いてPohožaev型の恒等式を導出し、解の構造を分析する。
• Pohožaev恒等式を用いて、$ \lambda < 0 $かつ$ \Omega $が原点に関して厳密に星型であるとき、非自明な解が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brezis-Nirenberg型問題としての非線形チョウカールド方程式が、どのような条件下で非自明な解を有するか。
• RQ2 チョウカールド非線形性の非局所的性質が、局所的臨界指数の場合と比較して解の存在および正則性に与える影響は何か。
• RQ3 パrameter $ \lambda $ が解の存在または非存在を決定づける役割は何か。
• RQ4 星型領域において、負の$ \lambda $に対してPohožaev型の恒等式を導出し、解の非存在を示すことは可能か。
• RQ5 特に厳密に星型であるという性質を有する領域$ \Omega $の幾何的性質が、問題の可解性に与える影響は何か。

主な発見

• N \geq 3、\lambda \in (0, \lambda_1)、\Omega が有界なリプシッツ領域であるとき、問題は非自明な解を有する。
• \lambda < 0 かつ \Omega が原点に関して厳密に星型であるとき、非自明な解は存在しない。
• 臨界指数$ 2_{\mu}^* = \frac{2N - \mu}{N - 2} $は、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式から自然に導かれるものであり、非線形性を支配する。
• 解はすべてのp \geq 1に対してW_{\text{loc}}^{2,p}(\Omega)に属する。これはブートストラップ法によって確立された。
• Pohožaev恒等式により、\int_{\partial\Omega} (x \cdot \nu) |\nabla u|^2 ds = 2\lambda \int_\Omega |u|^2 dx が得られ、\lambda < 0 のとき矛盾を引き起こす。
• 非局所項\int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^*}}{|x-y|^\mu} dy はL^\infty(\Omega)に有界であり、右辺の正則性を保証する。