[論文レビュー] On the Brumer-Stark Conjecture

Samit Dasgupta, Mahesh Kakde|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハイルバートモジュラー形式とcusp形式およびEisenstein級数の精密な合同関係を用いて、2を除く部分でBrumer–Stark予想を証明する。具体的には、T-滑らかにした類群のPontryagin双対のマイナス部分の0番目のFittingイデアルに対してより強い公式を確立し、その結果、Stickelberger要素によって生成されることを示す。この結果、Z[1/2]上でのRubinの高ランク版予想も示される。

ABSTRACT

Let $H/F$ be a finite abelian extension of number fields with $F$ totally real and $H$ a CM field. Let $S$ and $T$ be disjoint finite sets of places of $F$ satisfying the standard conditions. The Brumer-Stark conjecture states that the Stickelberger element $Θ^{H/F}_{S, T}$ annihilates the $T$-smoothed class group $ ext{Cl}^T(H)$. We prove this conjecture away from $p=2$, that is, after tensoring with $\mathbf{Z}[1/2]$. We prove a stronger version of this result conjectured by Kurihara that gives a formula for the 0th Fitting ideal of the minus part of the Pontryagin dual of $ ext{Cl}^T(H) \otimes \mathbf{Z}[1/2]$ in terms of Stickelberger elements. We also show that this stronger result implies Rubin's higher rank version of the Brumer-Stark conjecture, again away from 2. Our technique is a generalization of Ribet's method, building upon on our earlier work on the Gross-Stark conjecture. Here we work with group ring valued Hilbert modular forms as introduced by Wiles. A key aspect of our approach is the construction of congruences between cusp forms and Eisenstein series that are stronger than usually expected, arising as shadows of the trivial zeroes of $p$-adic $L$-functions. These stronger congruences are essential to proving that the cohomology classes we construct are unramified at $p$.

研究の動機と目的

• CM拡大H/F（Fは完全実数体）に対して、p=2を除く部分でBrumer–Stark予想を証明すること。
• T-滑らかにした類群のPontryagin双対のマイナス部分の0番目のFittingイデアルを含む、より強い形の予想を確立すること。
• このより強い結果が、Z[1/2]上でのRubinのBrumer–Stark予想の高ランク一般化を示すこと。
• p進L関数の自明な零点を活用して、cusp形式とEisenstein級数の間の合同関係を通じて、非分岐なGaloisコホモロジー類を構成すること。
• pでの分岐を制御するため、群環値のハイルバートモジュラー形式と通常型射影を用いてRibetの方法を拡張すること。

提案手法

• 完全実数体上の群環値のハイルバートモジュラー形式を用いて、Ribetの方法を一般化し、Gross–Stark予想に関する先行研究に基づく。
• p進L関数の自明な零点に起因する、予想を上回る強い合同関係をcusp形式とEisenstein級数の間で構成する。
• Hecke代数への通常型射影を用いて、p進形式の族を分離し、それらに付随するGalois表現を制御する。
• Galoisコホモ論を用いて、Selmer加群の表現として∇を定義し、その提示行列の転置を用いてFittingイデアルを計算する。
• Fittingイデアルの理論を適用し、特にGalois加群のマイナス部分において、∇の構造をStickelberger要素と関連付ける。
• 鍵となる補題（B.7）を用いて、∇のFittingイデアルを、さまざまな部分体におけるノルムイデアルとStickelberger要素の積に結びつけ、Kurihara予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2を除く部分で、精密なコホモロジー的技法を用いてBrumer–Stark予想を証明できるか？
• RQ2 T-滑らかにした類群の0番目のFittingイデアルについて、Stickelberger要素を用いたより強い構造的記述は可能か？
• RQ3 p進L関数の自明な零点は、Galoisコホモロジーの文脈において、cusp形式とEisenstein級数の間の合同関係にどのように影響を与えるか？
• RQ4 より強いFittingイデアルの公式は、Z[1/2]上でのRubinのBrumer–Stark予想の高ランク版を示すか？
• RQ5 ハイルバートモジュラー形式を用いて構成されたコホモロジー類は、これらの精密な合同関係により、pで非分岐であることが示せるか？

主な発見

• Brumer–Stark予想はZ[1/2]とテンソル積を取った後で成立し、すなわちStickelberger要素Θ^{H/F}_{S,T}がT-滑らかにした類群Cl^T(H) ⊗ Z[1/2]を消滅させる。
• より強い形の予想が証明された：Cl^T(H) ⊗ Z[1/2]のPontryagin双対のマイナス部分の0番目のFittingイデアルは、すべてのJ（S_∞ ⊂ J ⊂ S_∞ ∪ S_ram）に対して、Stickelberger要素Θ_{J,T}(H^{ar{J}}/F)によって生成される。
• Fittingイデアルの計算は、∇の提示行列を用い、その行列式がFittingイデアルを与える（式(175)で示されている）。
• この結果は、定理B.8で確立されたZ[1/2]上でのRubinのBrumer–Stark予想の高ランク版を示す。
• 主な技術的進歩は、p進L関数の自明な零点に起因する、期待を上回る強いcusp形式とEisenstein級数の間の合同関係の構成であり、これによりpでの非分岐コホモロジー類が保証される。
• 証明は、通常型射影の精密なバージョンと、Galois作用およびコホモロジー的構造を制御するための群環値のハイルバートモジュラー形式の使用に依存している。