[論文レビュー] On the $C^{\infty}$ version of the reflection principle for mappings between CR manifolds

S. Berhanu, Ming Xiao|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、抽象的CR多様体間のCR写像に対する滑らかさ（C^∞）版の反射原理を確立し、CR次元が低いもしくは等しいCR多様体から強擬凸な一般CR部分多様体へのC^k CR写像が、ある稠密な開部分集合上で滑らかであることを証明する。主な結果は、X. Huangによるこのような写像の正則性に関する予想を解決し、微局所解析および重み付きジェット消失技術を用いて、解析的結果を滑らかさの枠組みへと拡張する。

ABSTRACT

We prove a smooth version of the classical Schwarz reflection principle for CR mappings between an abstract CR manifold $M$ and a generic CR manifold embedded in euclidean complex space. As a consequence of our results, we settle a conjecture of X. Huang and provide a solution to a question raised by Forstneric.

研究の動機と目的

• 抽象的CR多様体間のCR写像に対するシュバルツ反射原理のC^∞版を確立すること。
• X. Huangが提起した、次元が異なるCR多様体間のCR写像の正則性に関する予想を解明すること。
• ForstnericおよびHuangの解析的結果を滑らかさのカテゴリーへと拡張し、適切な幾何的条件下でC^k写像が稠密な開部分集合上で滑らかであることを示すこと。
• Lamelの一般埋め込みCR多様体に関する結果を抽象的CR多様体の設定へと一般化すること。

提案手法

• CR写像のk₀-非退化性の枠組み（RobertsおよびLamelの研究に基づく）を用いて、ジェット消失の挙動を分析する。
• 境界付近でのCR写像の挙動を制御するため、「ほぼ正則」な陰関数定理を適用する。
• z̃に対して次数1、z_Nに対して次数2の重み付き斉次性を用いて、写像のテイラー展開を分析する。
• Lewyの拡張定理を用いて、写像をソース多様体の擬凸側へ正則に拡張する。
• サブハーモニック関数ρ(F, F̄)に対する最大原理およびHopfの補題を適用し、横方向の微分係数の厳密な負性を導出する。
• 行列式の恒等式λI_{N−1} = AA^*から矛盾を導出し、写像がC^kであるという仮定が、N′−1 ≥ N−1でなければ成り立たないことを示し、稠密な開集合上で滑らかであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CR多様体間のC^k CR写像が、稠密な開部分集合上で滑らかであるための条件は何か？
• RQ2 正則写像の古典的反射原理は、抽象的CR多様体におけるC^∞設定へと拡張可能か？
• RQ3 X. Huangが提示した、有限型の超曲面から強擬凸なターゲットへのCR写像の正則性に関する予想は、C^∞の文脈でも成り立つか？
• RQ4 k₀-非退化性は、CR写像の滑らかさ伝播にどのような役割を果たすか？
• RQ5 重み付きジェット消失および微局所解析は、解析的でない状況下での滑らかさの証明にどのように貢献するか？

主な発見

• CR次元nの抽象的CR多様体Mと、ℂ^{n+k}内に含まれる強擬凸な一般CR部分多様体M′⊂ℂ^{n+k}に対して、C^k CR写像F: (M, V) → (M′, V′) は、Mの稠密な開部分集合上で滑らかである。
• 本稿は、FがC^kかつk₀-非退化であれば、Fは稠密な開部分集合上で滑らかであることを証明し、Lamelの結果を抽象的CR多様体へ一般化する。
• 行列式の恒等式λI_{N−1} = AA^*から矛盾を導出し、有限回微分可能であるという仮定が、N′−1 ≥ N−1でなければ成り立たないことを示し、N′ < Nのときにはランクの欠損が生じることを示す。
• 写像Fは、Mの擬凸側へ正則に拡張可能であり、点0における横方向微分係数∂F_{N′}/∂z_Nの厳密な負性は、横方向における非退化性を示唆する。
• 本結果により、Huangの予想（次元が異なる実解析的超曲面間のCR写像の正則性）がC^∞設定で解決される。
• ソース多様体が埋め込み可能でない場合でも、滑らかさの結果が成り立つため、抽象的CR設定において本結果は新規かつ重要な意義を有する。