[論文レビュー] On the Cahn-Hilliard-Brinkman system

Stefano Bosia, Monica Conti+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、不可縮性二成分流体が多孔質媒体内に存在する場合の相分離をモデル化するCahn-Hilliard-Brinkman（CHB）系の適切な定式化を確立し、弱解の全域的存在および一意性、グローバルアトラクターの存在、Łojasiewicz-Simon不等式を用いた平衡状態への軌道の収束、および2次元において粘性係数ν → 0の極限におけるCahn-Hilliard-Hele-Shaw（CHHS）系への収束を示し、H¹ノルムにおける明示的な誤差推定を伴う。

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model for phase separation of an isothermal incompressible binary fluid in a Brinkman porous medium. The coupled system consists of a convective Cahn-Hilliard equation for the phase field $ϕ$, i.e., the difference of the (relative) concentrations of the two phases, coupled with a modified Darcy equation proposed by H.C. Brinkman in 1947 for the fluid velocity $\mathbf{u}$. This equation incorporates a diffuse interface surface force proportional to $ϕ abla μ$, where $μ$ is the so-called chemical potential. We analyze the well-posedness of the resulting Cahn-Hilliard-Brinkman (CHB) system for $(ϕ,\mathbf{u})$. Then we establish the existence of a global attractor and the convergence of a given (weak) solution to a single equilibrium via Łojasiewicz-Simon inequality. Furthermore, we study the behavior of the solutions as the viscosity goes to zero, that is, when the CHB system approaches the Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS) system. We first prove the existence of a weak solution to the CHHS system as limit of CHB solutions. Then, in dimension two, we estimate the difference of the solutions to CHB and CHHS systems in terms of the viscosity constant appearing in CHB.

研究の動機と目的

• 有界領域におけるno-slipおよびNeumann境界条件のもとで、Cahn-Hilliard-Brinkman（CHB）系の弱解の存在および一意性を確立すること。
• CHB系にグローバルアトラクターが存在することを証明し、長期的に散逸的挙動を示すことを示すこと。
• すべての弱解が、Łojasiewicz-Simon不等式を用いて明示的な収束速度を伴って、1つの平衡状態に収束することを示すこと。
• 粘性係数ν → 0におけるCHB解の極限を分析し、CHB解がCahn-Hilliard-Hele-Shaw（CHHS）系の弱解に収束することを証明すること。
• 2次元空間において、CHBおよびCHHS系の強解の差について、H¹ノルムにおける明示的な誤差推定を導出し、収束速度がν^{1/2}のオーダーであることを示すこと。

提案手法

• 相場φの対象となる対流的Cahn-Hilliard方程式と、速度uのための修正されたBrinkman方程式の連立系としてCHB系を形式的導出。界面力はφ∇μに比例する拡散界面力として定式化。
• 変分形式とGalerkin近似を用いて、φおよびuについてH¹(Ω) × H¹₀(Ω)における弱解の存在および一意性を証明。
• H²(Ω)およびH¹(Ω)におけるエネルギー推定および事前評価を用いて、高階ノルムを制御し、一様有界性を保証。
• Łojasiewicz-Simon不等式の適用により、軌道が平衡状態に収束することを示し、明示的な減衰速度を確立。
• コンパクトネスおよび弱収束の議論を用いて、ν → 0の極限に移行し、CHHS系の弱解の存在を証明。
• Gronwallの補題および一様有界性を用いて、CHBおよびCHHS解の差についてL²(0,T;H¹)ノルムの推定を導出し、H¹ノルムにおけるO(ν^{1/2})の収束を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard-Brinkman系は、与えられた初期値および境界条件のもとで、一意的な全域的弱解を有するか？
• RQ2 CHB系は位相空間にグローバルアトラクターを有するか。これは、長期的に散逸的ダイナミクスを示唆する。
• RQ3 CHB系のすべての弱解は、t → ∞のとき、1つの平衡状態に収束するか？
• RQ4 粘性係数νがゼロに近づくとき、CHB解の挙動はどのように変化し、系はCahn-Hilliard-Hele-Shaw系に収束するか？
• RQ5 CHBおよびCHHS系の強解の差はνの関数として推定可能か。収束速度は何か？

主な発見

• 任意のT > 0に対して、(φ, u) ∈ L∞(0,T;H¹) ∩ L²(0,T;H²) × L²(0,T;H¹₀) として、CHB系は一意的な全域的弱解を有し、初期データに対して連続的依存する。
• CHB系はH¹ × H¹₀位相空間にグローバルアトラクターを有しており、すべての軌道が最終的に入り込み、有界な吸収集合に留まることが示される。
• CHB系の各弱解は、t → ∞のとき、1つの平衡状態に収束し、その収束速度はŁojasiewicz-Simon不等式によって制御される。
• ν → 0のとき、CHB系はCHHS系に収束し、CHHS系の全域的弱解はCHB解の極限として存在する。
• 2次元において、CHBおよびCHHS系の強解の差について、‖φν − φ‖₁² ≤ C_T(‖φ₀^ν − φ₀‖₁² e^{C_T} + ν^{1/2}) が成り立ち、H¹ノルムにおけるO(ν^{1/2})の収束が成立する。
• CHHS系に付随する半群の強い連続性が欠如しているため、H²ノルムにおける収束は確立されていない。