[論文レビュー] On the canonical bundle formula for fibrations of relative dimension one in positive characteristic

Jakub Witaszek|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、正の特性における相対次元1のファイブレーションに対して、正規化バンドル公式の弱い形を確立し、双有理幾何における重要な応用を可能にする。XuとZhangの最近の結果を用いて、特性 p > 5 の代数閉体上での3次元klt対の対数非消滅予想を証明し、非最大ネフ次元をもつ3-foldに対して対数豊富性予想を確立するとともに、特性 p > 2 の有限体の代数的閉包上での3-foldに対して基本点自由定理を確立する。

ABSTRACT

We show that a weak version of the canonical bundle formula holds for fibrations of relative dimension one. We provide various applications thereof, for instance, using the recent result of Xu and Zhang, we prove the log non-vanishing conjecture for three-dimensional klt pairs over any algebraically closed field $k$ of characteristic $p>5$. We also show the log abundance conjecture for threefolds over $k$ when the nef dimension is not maximal, and the base point free theorem for threefolds over the algebraic closure of any finite field of characteristic $p>2$.

研究の動機と目的

• 正の特性における相対次元1のファイブレーションに対して、弱い正規化バンドル公式を確立すること。
• この公式を用いて、特性 p > 5 の代数閉体上での3次元klt対の対数非消滅予想を証明すること。
• ネフ次元が最大でない場合の3foldに対して、対数豊富性予想を証明すること。
• 特性 p > 2 の有限体の代数的閉包上での3foldに対して、基本点自由定理を確立すること。

提案手法

• 双有理幾何の技法を、正の特性における相対次元1のファイブレーションに適応すること。
• 家族における正則除釈子の制御のため、正規化バンドル公式の弱い形を用いること。
• 正の特性における最小モデルプログラムに関するXuとZhangの最近の進展を活用すること。
• 弱い正規化バンドル公式を用いて、3次元klt対における対数正則除釈子の性質を導出すること。
• ネフ次元の条件を用いて、対数豊富性問題を低次元の場合に還元すること。
• 有限体幾何とラインバンドルの正性の結果を組み合わせて、基本点自由定理を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における相対次元1のファイブレーションに対して、正規化バンドル公式の弱い形が成り立つか？
• RQ2 この弱い公式を用いて、特性 p > 5 の3次元klt対の対数非消滅予想を証明できるか？
• RQ3 ネフ次元が最大でない場合の正の特性における3foldに対して、対数豊富性予想は成り立つか？
• RQ4 有限体の代数的閉包上での特性 p > 2 の3foldに対して、基本点自由定理は成立するか？
• RQ5 正の特性における最小モデルプログラムの最近の結果は、相対次元1における正規化バンドル公式とどのように関係するか？

主な発見

• 正の特性における相対次元1のファイブレーションに対して、弱い正規化バンドル公式が成り立つ。
• 特性 p > 5 の代数閉体上での3次元klt対に対して、対数非消滅予想が証明された。
• ネフ次元が最大でない場合の3foldに対して、対数豊富性予想が確立された。
• 有限体の代数的閉包上での特性 p > 2 の3foldに対して、基本点自由定理が証明された。
• これらの結果により、最小モデルプログラムの適用範囲が、最大ネフ次元でない場合の3foldに対しても、正の特性において拡張された。