[論文レビュー] On the Canonical Representatives of a Finite Weyl Group

Sean Rostami|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限ウェイル群における標準的代表元が群準同型にならない障害を、根系のデータと長さ関数を用いて明示的な公式で定式化する。正根と余根を含む正確なコycle公式を導出し、p進群における単純超臨界表現の構成と解析に応用する。

ABSTRACT

Let K be a field and G a split connected reductive affine algebraic K-group. Let T be a split maximal torus of G, W its finite Weyl group, and R its root system. After fixing a realization of R in G and choosing a simple system for R, one gets a system of representatives for W in G(K), called the Canonical Representatives. It is well-known that these representatives rarely form a subgroup, and it is necessary for some questions to understand and quantify this failure. Various new formulas are given which constitute progress in this direction. An application of such formulas to the simple supercuspidals of Gross-Reeder and Reeder-Yu is provided.

研究の動機と目的

• 標準的切断 $\mathcal{N}_{\circ}: W_{\circ} \to N_G(T)(K)$ が群準同型でない理由を理解し、定量的に評価すること。
• 根系のデータと長さ関数を用いて、$\mathcal{N}_{\circ}$ が準同型でない障害を明示的な公式で与えること。
• これらの公式を、$p$-adic 群における単純超臨界表現の構成と解析に応用すること。
• 標準的代表元と拡張アフィンウェイル群内のねじれ元を用いて、単純超臨界表現の誘導部分群の構造を特徴付けること。
• 固定点群 $\operatorname{Fix}_{G_{\mathfrak{b}}}(\lambda)$ の最大のコンパクト開部分群が $\mathcal{S}(\Omega_{\text{tor}}) \cdot Z_c \cdot \mathcal{U}$ であることを確立すること。

提案手法

• 基底となる根系 $\Phi$ と単純系 $\Delta$ の選択に基づいて、標準的代表元 $\mathcal{N}_{\circ}(w)$ を定義する。
• 2つの主要な性質を用いる：単純反転 $s$ に対して $\mathcal{N}_{\circ}(s)^2 = \alpha^\vee(-1)$ であり、$\ell(uv) = \ell(u) + \ell(v)$ ならば $\mathcal{N}_{\circ}(uv) = \mathcal{N}_{\circ}(u)\mathcal{N}_{\circ}(v)$ である。
• コycle公式を導出：$\mathcal{N}_{\circ}(u)\mathcal{N}_{\circ}(v) = \mathcal{N}_{\circ}(uv) \cdot \prod_{b \in \mathcal{F}(u,v)} b^\vee(-1)$ で、$\mathcal{F}(u,v)$ は $v(b) \in -\Pi$ かつ $u(v(b)) \in \Pi$ を満たす正根 $b$ の集合である。
• 対角障害 $\mathcal{F}(w,w)$ を高さ関数で表現：$\sum_{b \in \mathcal{L}(w)} \langle a, b^\vee \rangle = \operatorname{Ht}(a) - \operatorname{Ht}(w(a))$。
• $|w| \geq 3$ の場合、コックスター数 $h$ と射影写像のファイバーのサイズ $n$ を用いた公式を導出：$h \cdot \sum_{b \in \mathcal{F}(w,w)} \langle a, b^\vee \rangle = n \cdot (\operatorname{Ht}(a) - 2\operatorname{Ht}(w(a)) + \operatorname{Ht}(w^2(a)))$。
• これらの公式を、固定点群 $\operatorname{Fix}_{G_{\mathfrak{b}}}(\lambda)$ の解析とその最大コンパクト開部分群の同定により、単純超臨界表現の構成に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的切断 $\mathcal{N}_{\circ}$ が群準同型でない正確な障害は何か？
• RQ2 根系のデータを用いて、$\mathcal{N}_{\circ}$ が準同型でない障害をどのように定量的に評価できるか？
• RQ3 単純超臨界表現の誘導部分群 $\operatorname{Fix}_{G_{\mathfrak{b}}}(\lambda)$ の最大コンパクト開部分群の構造は何か？
• RQ4 $p$-adic 群の文脈において、標準的代表元は中心 $Z(G)$ と単張部分群 $\mathcal{U}$ とどのように作用するか？
• RQ5 $|w| \geq 3$ の場合、対角障害 $\mathcal{F}(w,w)$ は高さ関数とコックスターのデータを用いて表現可能か？

主な発見

• 標準的代表元 $\mathcal{N}_{\circ}$ が準同型でない障害は、集合 $\mathcal{F}(u,v) = \{ b \in \Pi \mid v(b) \in -\Pi, u(v(b)) \in \Pi \}$ によって捉えられ、$\mathcal{N}_{\circ}(u)\mathcal{N}_{\circ}(v) = \mathcal{N}_{\circ}(uv) \cdot \prod_{b \in \mathcal{F}(u,v)} b^\vee(-1)$ が成り立つ。
• 障害が根部分群 $U_a$ に作用する際の作用は、$(-1)^{F_{u,v}(a)}$ によるスカラー倍乗算である。ここで $F_{u,v}(a) = \sum_{b \in \mathcal{F}(u,v)} \langle a, b^\vee \rangle$ である。
• $w \in W_{\circ}$ に対して、対角障害は $\sum_{b \in \mathcal{L}(w)} \langle a, b^\vee \rangle = \operatorname{Ht}(a) - \operatorname{Ht}(w(a))$ を満たし、これにより高さ関数と $\hat{\rho} = \frac{1}{2} \sum_{b \in \Pi} b^\vee$ が関連づけられる。
• $|w| \geq 3$ かつ $w \in \operatorname{pr}_{\circ}(\Omega)$ の場合、公式 $h \cdot \sum_{b \in \mathcal{F}(w,w)} \langle a, b^\vee \rangle = n \cdot (\operatorname{Ht}(a) - 2\operatorname{Ht}(w(a)) + \operatorname{Ht}(w^2(a)))$ が成り立つ。ここで $h$ はコックスター数、$n$ はファイバーのサイズである。
• $\operatorname{Fix}_{G_{\mathfrak{b}}}(\lambda)$ の最大コンパクト開部分群は $\mathcal{S}(\Omega_{\text{tor}}) \cdot Z_c \cdot \mathcal{U}$ である。ここで $\Omega_{\text{tor}}$ は基本アラコーブの安定化部分群のねじれ部分群である。
• $\mathcal{S}(\Omega_{\text{tor}}) \cdot Z_c \cdot \mathcal{U}$ は開かつ中心に関してコンパクトであり、$\operatorname{Fix}_{G_{\mathfrak{b}}}(\lambda)$ の唯一の最大コンパクト開部分群である。