[論文レビュー] On the Canonical Structure of the De Donder-Weyl Covariant Hamiltonian Formulation of Field Theory I. Graded Poisson brackets and equations of motion

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Dec 20, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、De Donder-Weyl (DW) 保存的ハミルトニアン場理論に対する段階的ポアソン括弧形式を構築し、有限次元的な位相空間上の微分形式へと古典的ポアソン括弧を一般化する。DWハミルトニアン方程式がこれらの括弧を用いて表現可能であることが示され、ハミルトニアン形式の空間がゲルステンハーバー代数をなすことが確立され、保存的場の量子化への基盤的段階が得られる。

ABSTRACT

The analogue of the Poisson bracket for the De Donder-Weyl (DW) Hamiltonian formulation of field theory is proposed. We start from the Hamilton- Poincaré-Cartan (HPC) form of the multidimensional variational calculus and define the bracket on the differential forms over the space-time (=horizontal forms). This bracket is related to the Schouten-Nijenhuis bracket of the multivector fields which are associated with the horizontal forms by means of the "polysymplectic form". The latter is given by the HPC form and generalizes the symplectic form to field theory. We point out that the algebra of forms with respect to our Poisson bracket and the exterior product has the structure of the Gerstenhaber graded algebra. It is shown that the Poisson bracket with the DW Hamiltonian function generates the exterior differential thus leading to the bracket representation of the DW Hamiltonian field equations. Few illustrative examples are also presented.

研究の動機と目的

• 場の理論の有限次元的かつ明示的に保存的なDe Donder-Weylハミルトニアン形式へのポアソン括弧概念の一般化を図ること。
• ハミルトニアン形式の空間に一貫した代数的構造—特にゲルステンハーバー段階的代数—を確立すること。
• 微分形式および多重ベクトル場を含む一般化されたポアソン括弧を用いて、DWハミルトニアン場方程式を表現すること。
• DW形式と場理論における従来の等時刻ポアソン括弧形式との関係を明確にすること。
• 今後の保存的量子化手順の基盤を、この有限次元的かつ保存的な正準枠組みに基づいて築くこと。

提案手法

• 多変数変分計算におけるポアンカレ＝カルタン形式に基づく形式的枠組みが構築され、保存的シンプレクティック形式の類似物としてのポリシンプレクティック (n+1)-形式が定義される。
• 力学的変数がさまざまな次数の微分形式に一般化され、ハミルトニアンベクトル場は多重ベクトル場に置き換えられ、一般化されたポアソン括弧はシューオテン＝ニーベンス bracket を用いて定義される。
• 異なる次数の形式間の括弧作用が定義され、形式と n-形式 $ H\widetilde{\text{vol}} $ のポアソン括弧はその外微分を生成する。これにより運動方程式が得られる。
• ハミルトニアン形式の空間には外積と一般化されたポアソン括弧が導入され、代数的閉包性と段階的ジャコビ恒等式の証明により、ゲルステンハーバー代数が形成されることが示される。
• 形式的枠組みは単純な場理論的モデルに適用され、その力学的性質と既知の結果との一貫性が示される。
• 空間的超曲面への制限を通じて、従来の即時的ハミルトニアン形式との関係が分析され、その極限において等時刻ポアソン括弧と一致することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場の理論における明示的な時空保存性を維持する形で、従来のポアソン括弧概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 De Donder-Weyl形式において、ハミルトニアン形式の空間に内在する代数的構造は何か？
• RQ3 DWハミルトニアン場方程式は、微分形式を含む一般化されたポアソン括弧を用いて再定式化可能か？
• RQ4 提案された括弧形式は、従来のハミルトニアン手法における標準的等時刻ポアソン括弧とどのように関係しているか？
• RQ5 この形式に基づく今後の保存的場の量子化の幾何学的・代数的基盤は何か？

主な発見

• 関連する多重ベクトル場のシューオテン＝ニーベンス bracket を用いて定義される、異なる次数の形式間の一般化されたポアソン括弧は、ポアソン括弧の保存的拡張として一貫性を示す。
• 外積と一般化されたポアソン括弧を備えたハミルトニアン形式の空間は、ゲルステンハーバー段階的代数を形成する。これは将来の量子化に向けた重要な代数的構造である。
• 任意のハミルトニアン形式と n-形式 $ H\widetilde{\text{vol}} $ のポアソン括弧は、その外微分を生成し、結果としてDWハミルトニアン場方程式が括弧形式で再現される。
• 空間的超曲面 $ \Sigma $ への制限の極限において、形式的枠組みは標準的等時刻ポアソン括弧を再現し、従来の場理論と一貫性を持つことが示される。
• DW形式の代数的構造は、BRSTおよびアンチブラケット形式と深い類似性を示しており、場理論におけるBRST対称性の幾何的起源を示唆する。
• この枠組みは、古典的場理論およびボソン的ストリング理論を含む既知のモデルと一貫しており、無限次元の即時的位相空間アプローチとは対照的に、有限次元的かつ保存的な代替手法を提供する。