[論文レビュー] On the Capacity of Locally Decodable Codes

Hua Sun, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Cryptography and Data Security参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全に滑らかな局所デコード可能符号（LDC）およびそのユニバーサル版の容量を確立し、最大符号レートは $ C^* = N(1 + 1/N + \cdots + 1/N^{K-1})^{-1} $ であり、容量を達成する符号の最小長は $ M = N^K $ であることを示している。結果は、最大ダウンロードコストを想定したプライベート情報検索（PIR）に応用され、最小アップロードコストは $ (K-1)"log N $ であることが示され、レピューディティブ情報検索（RIR）へも拡張される。

ABSTRACT

A locally decodable code (LDC) maps $K$ source symbols, each of size $L_w$ bits, to $M$ coded symbols, each of size $L_x$ bits, such that each source symbol can be decoded from $N \leq M$ coded symbols. A perfectly smooth LDC further requires that each coded symbol is uniformly accessed when we decode any one of the messages. The ratio $L_w/L_x$ is called the symbol rate of an LDC. The highest possible symbol rate for a class of LDCs is called the capacity of that class. It is shown that given $K, N$, the maximum value of capacity of perfectly smooth LDCs, maximized over all code lengths $M$, is $C^*=N\left(1+1/N+1/N^2+\cdots+1/N^{K-1} ight)^{-1}$. Furthermore, given $K, N$, the minimum code length $M$ for which the capacity of a perfectly smooth LDC is $C^*$ is shown to be $M = N^K$. Both of these results generalize to a broader class of LDCs, called universal LDCs. The results are then translated into the context of PIR$_{\max}$, i.e., Private Information Retrieval subject to maximum (rather than average) download cost metric. It is shown that the minimum upload cost of capacity achieving PIR$_{\max}$ schemes is $(K-1)\log N$. The results also generalize to a variation of the PIR problem, known as Repudiative Information Retrieval (RIR).

研究の動機と目的

• 完全に滑らかな局所デコード可能符号（SLDC）の符号レート（容量）の根本的限界を、$ K $ 個のソース記号と局所性 $ N $ を用いて特定すること。
• SLDCがこの容量を達成するために必要な最小符号長 $ M $ を特定すること。
• 容量の上限を、ユニバーサルLDC（ULDC）のより広いクラスに一般化し、容量境界の適用範囲を拡大すること。
• LDCの容量結果を、最大ダウンロードコストを想定したプライベート情報検索（PIR max）の文脈に翻訳し、最小アップロードコストを確立すること。
• PIR maxの結果を、レピューディティブ情報検索（RIR）に拡張し、両者の容量とアップロードコストが等価であることを示すこと。

提案手法

• 符号レートを $ L_w / L_x $ と定義し、$ L_w $ をソース記号のサイズ、$ L_x $ を符号記号のサイズとする。組合せ的および情報理論的議論を用いて、達成可能な最大レート $ C^* $ を導出する。
• 完全に滑らかなLDC（SLDC）の概念を導入し、各符号記号がすべてのソース記号のデコード集合に対して一様に分布することを保証することで、アクセスのバランスと破損に対する耐性を確保する。
• デコード集合のカバレッジと符号記号の多重度に基づく背理法を用いて、SLDCおよびULDCにおける容量 $ C^* = N(1 + 1/N + \cdots + 1/N^{K-1})^{-1} $ が上限であることを証明する。
• 容量を達成する最小符号長 $ M $ が $ N^K $ であることを確立し、各ソース記号の $ N^{K-1} $ 個のデコード集合が符号記号によって一意にカバーされなければならないという要件から導出する。
• $ N $ 進木構造を用いた容量を達成するSLDCを構築し、$ N^K $ 個のリーフノードを持つ。各デコード集合はルートからリーフへのパスに対応し、$ N^{K-1} $ 個のノードのグループはPIRにおけるデータベースに対応する。
• SLDC構造をPIR maxおよびRIRにマッピングし、各データベースを符号記号のグループに割り当て、各クエリが各データベースごとに1つの符号記号を取得するようにし、完全な滑らかさと均一なデコード集合選択により、プライバシーと正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に滑らかな局所デコード可能符号（$ K $ 個のソース記号、局所性 $ N $）の最大達成可能符号レート（容量）は何か？
• RQ2 この容量を達成するための完全に滑らかなLDCに必要な最小符号長 $ M $ は何か？
• RQ3 これらの結果は、より広いクラスのユニバーサル局所デコード可能符号（ULDC）にどのように一般化されるか？
• RQ4 最大ダウンロードコストを想定したプライベート情報検索（PIR max）問題において、容量を達成するスキームの最小アップロードコストは何か？
• RQ5 これらの結果は、レピューディティブ情報検索（RIR）にどのように拡張され、この設定における最小アップロードコストは何か？

主な発見

• $ K $ 個のソース記号と局所性 $ N $ を持つ完全に滑らかなLDCの容量は $ C^* = N(1 + 1/N + 1/N^2 + \cdots + 1/N^{K-1})^{-1} $ であり、このクラスにおける最大符号レートである。
• この容量を達成するための最小符号長 $ M $ は $ M = N^K $ であり、これはタイトである：$ C^* $ を達成するにはこれより短い符号では不可能である。
• 結果はユニバーサルLDC（ULDC）に一般化され、同じ容量と最小符号長を維持するため、厳密に滑らかな符号に限らず、より広い応用範囲を持つことが示される。
• PIR max問題において、容量を達成するスキームの最小アップロードコストは $ (K-1)\log N $ であり、$ \log $ は底 $ N $ である。これはタイトである。
• レピューディティブ情報検索（RIR）の容量はPIR maxと等しく、最小アップロードコストも $ (K-1)\log N $ であり、根本的な限界が等価であることが示される。
• 容量を達成するスキームは、$ N^K $ 個の符号記号を持つ $ N $ 分割SLDCを用いて構築され、各デコード集合は $ N $ 進木における一意のパスに対応し、均一なアクセスとプライバシーを保証する。