[論文レビュー] On the Capacity of Secure Distributed Matrix Multiplication

Wei-Ting Chang, Ravi Tandon|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Cryptography and Data Security参考文献 12被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、片側秘密（行列Bが公開でAが秘密）と完全秘密（AとBの両方が秘密）の2つのモデルにおける情報理論的に安全な分散行列乗算を研究する。片側秘密モデルに対しては、秘密共有に基づく方式を提案し、容量(N−ℓ)/Nを達成する。完全秘密モデルに対しては、アライメントされた秘密共有を用いた新規な符号化方式を導入し、従来の境界を超える通信効率を実現する。

ABSTRACT

Matrix multiplication is one of the key operations in various engineering applications. Outsourcing large-scale matrix multiplication tasks to multiple distributed servers or cloud is desirable to speed up computation. However, security becomes an issue when these servers are untrustworthy. In this paper, we study the problem of secure distributed matrix multiplication from distributed untrustworthy servers. This problem falls in the category of secure function computation and has received significant attention in the cryptography community. However, the fundamental limits of information-theoretically secure matrix multiplication remain an open problem. We focus on information-theoretically secure distributed matrix multiplication with the goal of characterizing the minimum communication overhead. The capacity of secure matrix multiplication is defined as the maximum possible ratio of the desired information and the total communication received from $N$ distributed servers. In particular, we study the following two models where we want to multiply two matrices $A\in\mathbb{F}^{m imes n}$ and $B\in\mathbb{F}^{n imes p}$: $(a)$ one-sided secure matrix multiplication with $\ell$ colluding servers, in which $B$ is a public matrix available at all servers and $A$ is a private matrix. $(b)$ fully secure matrix multiplication with $\ell$ colluding servers, in which both $A$ and $B$ are private matrices. The goal is to securely multiply $A$ and $B$ when any $\ell$ servers can collude. For model $(a)$, we characterize the capacity as $C_{ ext{one-sided}}^{(\ell)}=(N-\ell)/N$ by providing a secure matrix multiplication scheme and a matching converse. For model $(b)$, we propose a novel scheme that lower bounds the capacity, i.e., $C_{ ext{fully}}^{(\ell)}\geq (\lceil \sqrt{N}-\ell ceil)^2/(\lceil \sqrt{N}-\ell ceil+\ell)^2$.

研究の動機と目的

• 信頼できないサーバーを想定した情報理論的に安全な分散行列乗算の根本的限界を特定すること。
• 任意のℓ台のサーバーが協調しても、秘密行列AとBに関する情報を得られないようにしながら、通信オーバーヘッドを最小化する問題に取り組むこと。
• 片側秘密および完全秘密の両方の行列乗算モデルにおいて、高い通信効率（レート）を達成する方式を開発すること。
• 完全秘密設定において冗長な通信を低減するために、アライメントされた秘密共有を導入することで、既存の方式を改善すること。
• 片側秘密モデルに対して逆問題の証明（下界の確立）を提示し、提案方式の最適性を示すこと。

提案手法

• 片側秘密モデルでは、シェーマーの秘密共有を用いて行列AをN台のサーバーに分散配布し、Bは公開されている。
• 各サーバーは、自身のAのシェアと公開された行列Bの線形結合を計算し、単一のサーバーがAを再構築できないようにする。
• ユーザーは全N台のサーバーからの応答を収集し、多項式補間を用いてABを回復する。この際、任意のℓ台の協調サーバーがAに関する情報を得られないように保証する。
• 完全秘密モデルでは、AとBを部分行列に分割し、適切に選ばれた次数を持つ多項式符号化を用いて、不要な項をアライメントする。
• 符号化により、評価多項式における異なる次数にのみ、望ましい積A_j B_j' が係数として現れるように保証する。
• アライメントされた秘密共有は、異なる項（例：A_j B_j'、A_j K_B、K_A B_j'、K_A K_B）に異なる次数を割り当てることで、補間により唯一望ましい項が回復可能となるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のℓ台のサーバーが協調する状況下で、片側秘密分散行列乗算の最大達成可能レート（容量）は何か？
• RQ2 提案方式が片側秘密モデルで最適であることを示すために、逆問題の証明を確立できるか？
• RQ3 ℓ台の協調サーバーが存在する完全秘密分散行列乗算において、達成可能な最良のレートは何か？
• RQ4 符号化プロセスにおいて不要な項をアライメントすることで、完全秘密モデルにおける通信オーバーヘッドを低減できるか？
• RQ5 完全秘密モデルにおいて、達成可能なレートと理論的上限の間にギャップがあるか？

主な発見

• 片側秘密行列乗算モデルにおいて、容量は正確に(N−ℓ)/Nであり、これはシェーマーの秘密共有に基づく方式と一致する情報理論的逆問題によって達成される。
• 提案された片側秘密モデルの方式は、任意のℓ台の協調サーバーの視認情報の結合エントロピーがゼロであることを示すことで、情報理論的に安全であることが証明されている。
• 完全秘密モデルにおいて、提案方式は少なくとも(⌈√N−ℓ⌉)² / (⌈√N−ℓ⌉+ℓ)²のレートを達成でき、従来の方式を改善する。
• N=8、ℓ=0の例では、アライメントされた秘密共有技術により、干渉を受けるランダム行列の影響を低減し、レートを4/9から1/2に向上させた。
• アライメントされた秘密共有による改善は、不要な項の構造的アライメントが通信オーバーヘッドを顕著に低減できることを示している。
• 本稿では、完全秘密モデルに対する逆問題（上界）の導出は未解決のままとしており、今後の研究の方向性として示唆されている。