[論文レビュー] On the category of stratifolds

Toshiki Aoki, Katsuhiko Kuribayashi|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体における古典的結果を拡張して、分層多様体の圏がℝ代数の圏に完全忠実に埋め込まれることを確立する。分層多様体に対して、セール＝スワン型の定理を証明し、分層多様体上のベクトル束がその全体切断代数上の有限生成射影加群と同値であることを示す。また、関連するアフィンスキームがその実スペクトルを通じて分層多様体の幾何的構造を捉えている。

ABSTRACT

Stratifolds are considered from a categorical point of view. We show among others that the category of stratifolds fully faithfully embeds into the category of ${\mathbb R}$-algebras as does the category of smooth manifolds. We prove that a variant of the Serre-Swan theorem holds for stratifolds. In particular, the category of vector bundles over a stratifold is shown to be equivalent to the category of vector bundles over an associated affine scheme although the latter is in general larger than the stratifold itself.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体がℝ代数の圏に完全忠実に埋め込まれるのを、分層多様体の圏へ拡張すること。
• 分層多様体に対してセール＝スワン定理を確立し、ベクトル束とその全体切断代数上の射影加群を結びつけること。
• 実スペクトルとアフィンスキーム構造を通じて分層多様体を特徴づけ、実スペクトルが元の分層多様体をリング付き空間として回復できることを示すこと。
• 導来微分幾何学と整合する層論的枠組みを分層多様体に提供すること。

提案手法

• 分層多様体を、連続な実数値関数の部分代数$\mathcal{C}$を備えた位相空間$S$として定義し、局所的に検出可能で滑らかな操作に関して閉じていることとする。
• 関手$F(S,\mathcal{C}) = \mathcal{C}$が、分層多様体の圏からℝ代数の圏への完全忠実関手を与えることを示す。
• 点での評価汎関数に対応する素イデアルの部分空間として、分層多様体の実スペクトルを定義し、それが元の位相空間と位相的に同相であることを証明する。
• 構造層の全体切断に付随するアフィンスキームを構成し、それが実スペクトルへの制限として元の分層多様体とリング付き空間として同型であることを示す。
• 局所的自明性と局所的再びの整合性を満たすように、分層多様体上のベクトル束を定義し、各層上での滑らかさを保証する。
• ベクトル束の圏がそのℝ代数上の有限生成射影加群の圏と同値であることを示すことで、セール＝スワン定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分層多様体の圏は、滑らかな多様体の場合と同様に、ℝ代数の圏に完全忠実に埋め込まれるか？
• RQ2 分層多様体に対して、ベクトル束とその関数代数上の射影加群を結びつけるセール＝スワン定理を確立できるか？
• RQ3 分層多様体の関数代数の実スペクトルは、その基になる位相空間と位相的に同相か？
• RQ4 分層多様体の構造層の全体切断に付随するアフィンスキームは、元の分層多様体とどのように関係するか？
• RQ5 分層多様体の準同型は、局所的データによって特徴づけられ、微分幾何的空間の圏内で記述可能か？

主な発見

• 分層多様体の圏は、全体切断関手を介してℝ代数の圏に完全忠実に埋め込まれ、滑らかな多様体に関する結果を一般化する。
• 分層多様体上の連続関数の代数の実スペクトルは、その分層多様体の基になる位相空間と位相的に同型である。
• 分層多様体の構造層の全体切断に付随するアフィンスキームを実スペクトルに制限すると、元の分層多様体とリング付き空間として同型である。
• 分層多様体に対してセール＝スワン定理が成り立つ：分層多様体上のベクトル束の圏は、そのℝ代数上の有限生成射影加群の圏と同値である。
• 滑らかさを各層で満たし、局所的再びの整合性を満たすように定義された2つの分層多様体の積は、分層多様体の圏におけるカルテシアン積をなす。
• 分層多様体の準同型は局所的データによって特徴づけられ、微分幾何的空間の圏内で記述可能であり、対角写像と積写像がすべての準同型である。