[論文レビュー] On the Cauchy problem for integro-differential operators in Hölder classes and the uniqueness of the martingale problem

R. Mikulevíčius, H. Pragarauskas|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、核関数 $m(t,x,y)$ が $x$ に関して Hölder 継続的で $y$ に関して可測であり、非退化な下界を持つという弱い正則性仮定のもとで、$\alpha \in (0,2)$ 階の放物型積分微分作用素に対するコーシー問題の解の存在と一意性を Hölder-Zygmund 空間で確立する。主な貢献は、解析的推定と伊藤＝ヴェントツェルの公式の手法を用いて、関連するマルティングール問題に対する弱い一意性を証明したことである。これは、従来の結果を正則性が低い係数へと拡張したものである。

ABSTRACT

The existence and uniqueness in Hölder spaces of solutions of the Cauchy problem to parabolic integro-differential equation of the order α\in(0,2) is investigated. The principal part of the operator has kernel m(t,x,y)/|y|^{d+α} with a bounded nondegenerate m, Hölder in x and measurable in y. The result is applied to prove the uniqueness of the corresponding martingale problem.

研究の動機と目的

• 放物型積分微分作用素のクラスに対するコーシー問題の解の存在と一意性を、Hölder-Zygmund 空間で確立すること。
• 核関数 $m(t,x,y)$ の正則性仮定を緩和し、$y$ に関して可測でありながら $x$ に関して Hölder 継続的で、非退化性条件を満たすようにすること。
• コーシー問題の解理論と伊藤の公式を用いて、関連するマルティングール問題に対する弱い一意性を証明すること。
• 特に $\alpha = 1$ の場合に、係数の正則性が低い作用素に対し、従来のマルティングール解の一意性結果を一般化すること。

提案手法

• 非退化性条件を満たす可測核関数に対して、平滑核関数からの解推定を伊藤＝ヴェントツェルの公式を用いて拡張する。
• パラメータによる継続法を用いて、定数係数作用素から変数係数作用素への可解性を拡張する。
• Partition of unity と局所化技術を用いて、Hölder-Zygmund 空間における事前推定（Schauder 評価）を導出する。
• 符号 $\psi(t,x,\xi)$ の $\xi$ に関して滑らかでない性質を考慮し、Fourier 乗算子でない手法を必要とする。
• コーシー問題の解 $u$ を用いてマルティングールを構成し、伊藤の公式を適用してマルティングール解の一意性を証明する。
• ノルム $|u|_{\alpha,\beta}$ と解作用素 $T_\tau u$ のノルムとの等価性を確立することで、摂動方程式の解から完全な正則性推定を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $y$ に関して可測で $x$ に関して Hölder 連続な核関数をもつ非局所放物型作用素に対するコーシー問題は、Hölder-Zygmund 空間で一意に解けるか？
• RQ2 このような作用素に関連するマルティングール問題は、核関数の正則性を最小限に抑えた仮定のもとで弱い一意性をもつか？
• RQ3 非局所作用素の文脈において、伊藤＝ヴェントツェルの公式は、滑らかでない核関数へ正則性をどのように伝播させ得るか？
• RQ4 核関数に $\xi$ に関して滑らかさがない状況下で、非退化性条件 $m_0 \geq \eta > 0$ が果たす役割は何か？
• RQ5 Hölder 空間において、定数係数作用素の解理論をパラメータ継続法によって変数係数作用素へ拡張できるか？

主な発見

• 核関数 $m$ が $x$ に関して Hölder 継続的で、$m \geq m_0 > 0$ かつ $m_0$ が $y$ に関して滑らかで同次的であるという非退化性条件を満たすとき、方程式 $\partial_t u = Lu + f$ は $f \in C^\beta(H)$ に対して $C^{\alpha + \beta}(H)$ で一意解をもつ。
• 解作用素 $T_\tau$ は一様有界性を満たす：$|u|_{\alpha,\beta} \leq C |T_\tau u|_\beta$ であり、これは摂動方程式の解から完全な正則性推定を回復可能であることを示す。
• 仮定 A, B1, B2 を満たし、$\rho \geq 0$, $l = 0$ のもとで、$\alpha \in (0,2)$, $\beta \in (0,1]$ の場合、$L = A + B^0$ に関連するマルティングール問題に対して弱い一意性が確立される。
• Lévy 済みが $\int_{|c|>R} \rho \, d\pi \to 0$ ($R \to \infty$) を満たすとき、マルティングール問題の解 $\mathbf{P}_{s,x}$ は $(s,x)$ に関して弱い連続性をもつ。
• $\mathbf{P}_{s,x}$ の下で確率過程 $X_t$ は強マルコフ過程であり、$u(s,x) = \mathbf{E}_{s,x} \left[ \int_s^T f(r,X_r) \, dr \right]$ を満たす。これはPDEの解とマルティングール測度下での期待値を結びつける。
• 従来の [1] および [13] の結果を一般化し、$y$ に関して可測な核関数を許容しながらも、$x$ に関して Hölder 連続性を保ったまま、一意性を成立させる。