[論文レビュー] On the Cauchy Problem for nonlinear Schrödinger equations with rotation

Paolo Antonelli, Daniel Marahrens+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元および3次元のエネルギー下位臨界な非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、回転項と準2次関数型ポテンシャルを含む場合のグローバル存在性を確立する。時間に依存する座標変換を用いて回転項を消去し、修正された時間に依存するポテンシャルを持つ時間に依存するNLSに問題を還元する。主な貢献は、回転周波数に制限がない状況でも、焦点化型の場合に有限時間 blow-up が抑制されることを示し、その条件が明示的に |Ω| に依存することを示したことである。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for (energy-subcritical) nonlinear Schrödinger equations with sub-quadratic external potentials and an additional angular momentum rotation term. This equation is a well-known model for superfluid quantum gases in rotating traps. We prove global existence (in the energy space) for defocusing nonlinearities without any restriction on the rotation frequency, generalizing earlier results given in [11,12]. Moreover, we find that the rotation term has a considerable influence in proving finite time blow-up in the focusing case.

研究の動機と目的

• エネルギー下位臨界な領域における回転項と準2次関数型ポテンシャルを含む非線形シュレーディンガー方程式の初期値問題に対するグローバルwell-posednessを確立すること。
• 回転周波数 |Ω| に制限のある条件やポテンシャルの対称性に依存する従来の結果を一般化すること。
• 焦点化型の場合における有限時間 blow-up に及ぼす回転項の影響を分析すること。
• 回転項が古典的virial議論をどのように修正するかを示し、blow-up 条件が |Ω| に依存することを示すこと。

提案手法

• 時間に依存する座標変換を適用し、回転するNLSを時間に依存する二次ポテンシャルを持つ非回転NLSに変換する。
• 座標変換後のダイナミクスを制御するために、修正されたエネルギー $ E_{\Omega}(t) $ の保存を用いる。
• 回転の影響を扱うために、角運動量演算子 $ \Omega \cdot L $ を含む項を加算・減算することで、修正されたvirial恒等式を導出する。
• Cauchy-Schwarz 不等式とYoungの不等式を用い、適切に選んだパラメータ $ \alpha $ と $ \theta $ を用いて、2次のモーメントの成長を制御する。
• 有効ポテンシャル項が非正になるようにパラメータを選定し、モーメント $ I(t) $ の2階微分に対する制御を可能にする。
• パラメータ $ \alpha_\Omega $ が $ |\Omega| $ と最小のトラップ周波数 $ \underline{\gamma} $ に依存することを保証し、$ \frac{d^2}{dt^2}I(t) \leq \alpha_\Omega E_\Omega(0) $ を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転周波数 |Ω| に制限がない場合、焦点化型の回転NLSに対してグローバル存在性を証明できるか？
• RQ2 回転項は、焦点化型の場合に有限時間 blow-up を示すために用いられる古典的virial議論にどのように影響を与えるか？
• RQ3 回転NLSが準2次関数型ポテンシャルを有する焦点化型において、回転項が blow-up を抑制または遅延させる条件は何か？
• RQ4 回転NLSを、時間に依存するポテンシャルを持つ非回転NLSに変換できるか？また、この変換はwell-posednessを保つのか？
• RQ5 焦点化型の場合に、blow-upの閾値が回転周波数 |Ω| にどのように依存するか？

主な発見

• 焦点化型非線形シュレーディンガー方程式に対して、|Ω| やトラップパラメータ $ \gamma_j $ に制限がない状況でも、エネルギー空間におけるグローバル存在性が証明された。
• 時間に依存するポテンシャルへの変換により、時間に依存する二次ポテンシャルを有するNLSに対する既知のグローバルwell-posedness結果の適用が可能となった。
• 焦点化型の場合、初期の修正エネルギー $ E_\Omega(0) < 0 $ であれば有限時間 blow-up が発生し、その条件はパラメータ $ \alpha_\Omega = \sqrt{4\underline{\gamma}^2 / (\underline{\gamma}^2 - |\Omega|^2)} $ を通じて |Ω| に明示的に依存する。この $ \alpha_\Omega $ は、|Ω| < \underline{\gamma} のときのみ実数となる。
• |Ω| \geq \underline{\gamma} のとき、$ \alpha_\Omega $ は虚数になり、virialに基づくblow-up議論が失敗することを示し、強い回転によって blow-up が防止または遅延される可能性がある。
• 回転項はvirial恒等式を修正し、標準的なblow-up証明が直接適用できないため、パラメータ依存の境界付きの精密な解析が必要となった。
• 結果として、回転は焦点化型の場合に顕著な安定化効果を示し、blow-up 条件が |Ω| に依存し、|Ω| \to 0 の極限では古典的ケースに還元される。