[論文レビュー] On the Cauchy problem for stochastic parabolic equations in Hölder spaces

Kai Du, Jiakun Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、係数およびデータに対する最小限の仮定の下で、解の存在、一意性、最適な正則性を確立することにより、 Hölder空間における確率的放物型方程式の鋭い $C^{2+eta}$-理論を確立する。新たなフレームワークを導入し、解がデータの Hölder 正則性を引き継ぐことを証明することで、Krylov が提起した理論の鋭さに関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we establish a sharp $C^{2+α}$-theory for stochastic partial differential equations of parabolic type in the whole space.

研究の動機と目的

• Krylov が提起した、確率的放物型方程式の鋭い $C^{2+eta}$-理論に関する未解決問題を解決すること。
• 2階のSPDEの初期値問題に対するHölder空間における完全かつ最適な正則性理論を確立すること。
• 解理論が必要かつ十分となるような適切な確率的 Hölder 空間のクラスを定義し、特徴づけること。
• 係数および自由項の正則性が最小限の仮定のもとで成立するとき、解空間がデータ空間と正確に一致することを証明すること。

提案手法

• SPDE に対して、$L_{\text{loc}}^{\rho}(\text{時空}; L_{\text{prob}}^{\rho})$-値 Hölder 空間における擬古典的解の概念を導入する。
• 空間的および時空的微分の $L^{\rho}(\rho \to \rho)$-ノルムを用いて、確率的 Hölder ノルム $|u|_{m+\beta;\rho}$ および $|u|_{(m+\beta,\beta/2);\rho}$ を定義する。
• 一様放物性 (1.2) を仮定し、係数 $a^{ij}, b^i, c, \nu, \nu_x, \nu_x$ および $\nu_x$ が空間で Hölder 継続的であり、一様有界な定数 $K$ を持つと仮定する。
• 解の近似に滑らか化技術を適用し、$L^{\rho}$-ノルムにおける極限に移行する際に支配収束定理を用いる。
• 事前推定およびコンパクト性の議論を用いて、提案された Hölder 空間フレームワークにおける存在性および一意性を証明する。
• 伊藤の公式および確率積分表現を用いて、解が満たす積分方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的放物型方程式に対して、解空間が解作用素によるデータ空間の像に正確に一致するような鋭い $C^{2+\beta}$-理論を確立できるか。
• RQ2 係数およびデータに対して最小限の正則性仮定を課した場合、解が確率的 $C^{2+\beta}$-空間に属するための条件は何か。
• RQ3 解の存在性および一意性に加え、最適な正則性を保証するような確率的 Hölder 空間フレームワークをどのように定義できるか。
• RQ4 解は、$L^{\rho}(\rho)$-ノルムの意味で、データ $f$ および $g$ の Hölder 正則性を引き継ぐか。
• RQ5 解理論を完全に最適化でき、解空間に属するすべての要素が、同じ空間に属するあるデータから得られるようにできるか。

主な発見

• 本稿は、全空間における確率的放物型方程式の初期値問題に対して鋭い $C^{2+\beta}$-理論を確立する。
• $f \to C^{\beta}_x(\rho)$ および $g \to C^{1+\beta}_x(\rho)$ のとき、解 $u$ は $C^{2+\beta,\beta/2}_x(\rho)$ に属し、ノルム推定 $|u|_{2+\beta,\beta/2;\rho} \to C(|f|_{\beta;\rho} + |g|_{1+\beta;\rho})$ が成り立つ。
• 解作用素は全射である：$C^{2+\beta,\beta/2}_x(\rho)$ に属する任意の要素は、同じデータ空間に属するある $f, g$ に対応する解として得られる。
• 係数 $a^{ij}, b^i, c, \nu, \nu_x, \nu_x$ は空間で一様 $C^{\beta}$ であり、一様有界な定数 $K$ を持つと仮定することで、理論の鋭さが保証される。
• 滑らか化法により、$u^{\rho} \to u$ が $L^{\rho}$-ノルムで、かつ $D^m u^{\rho} \to D^m u$ が $L^{\rho}$-ノルムで成り立ち、$D^m u$ が一様強く連続であれば一様収束する。
• 滑らか化された解の Hölder の半ノルムは $[[u^{\rho}]]_{\beta;\rho} \to C(n,\rho)[[u]]_{\beta;\rho}$ を満たし、$\rho \to 0$ のとき $[[u^{\rho} - u]]_{\beta/2;\rho} \to 0$ となる。