[論文レビュー] On the Cauchy problem of fractional Schrödinger equation with Hartree type nonlinearity

Yonggeun Cho, Gyeongha Hwang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ストリカルツ推定と保存則を用いて、ハートリー型非線形性を有する分数階シュレーディンガー方程式の局所解および大域解の存在を確立する。$2\alpha < \gamma < n$ の場合に、小刻みデータの大域的解および散乱を証明する。臨界正則性下で、$\gamma = \alpha$, $\lambda = -1$ の質量臨界ケースにおいて、$\|\varphi\|_{L^2} < \|Q\|_{L^2}/\|\psi\|_{L^\infty}^{1/2}$ の条件下で、解のノルムの一様有界性を伴う大域的解の存在を示す。また、$\lambda = -1$ の場合に、特定の条件下で有限時刻 blowup も確立する。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the fractional Schrödinger equation $$ i\partial_tu = (m^2-Δ)^\frac\alpha2 u + F(u) in \mathbb{R}^{1+n}, $$ where $ n \ge 1$, $m \ge 0$, $1 &lt; α&lt; 2$, and $F$ stands for the nonlinearity of Hartree type: $$F(u) = λ(\frac{ψ(\cdot)}{|\cdot|^γ} * |u|^2)u$$ with $λ= \pm1, 0

研究の動機と目的

• ハートリー型非線形性を有する分数階シュレーディンガー方程式の初期値問題に対する局所解および大域解の存在を確立すること。
• スケーリングおよび正則性の観点から、特に $\dot{H}^{\frac{\gamma-\alpha}{2}}$-下位臨界、臨界、上位臨界空間における臨界的および下位臨界領域を分析すること。
• ストリカルツ推定を用いて、$2\alpha < \gamma < n$ の場合に小刻みデータの大域的解および散乱を証明すること。
• 質量臨界ケース $\gamma = \alpha$, $\lambda = -1$ において、$L^2$ 空間における初期データの小さな条件の下で、大域的解の結果を拡張すること。
• 集中的な場合（$\lambda = -1$）における有限時刻 blowup を調査し、 compact な初期データを持つ解についてのモーメント推定を導出すること。

提案手法

• ユニタリ群 $U(t) = e^{-it(m^2 - \Delta)^{\alpha/2}}$ を用いて、問題を非線形積分方程式に定式化する。
• 非線形項を $L^p_t L^q_x$ 空間で制御するため、ストリカルツ推定 (2.1), (2.2), および (2.3)–(2.4) を適用し、低正則性における存在結果を得る。
• 質量とエネルギーの保存則を用いて、特に質量臨界ケースにおいて解のノルムの一様有界性を導出する。
• 正則化法と $C([0,T^*); H^s)$ 上での収縮写像を用いて局所解を証明し、滑らかな解に対してエネルギー保存則を適用する。
• グローヴァルの不等式を用いて、$|x|u(t)$ および $|x|\nabla u(t)$ のモーメント推定を適用し、$x\varphi, |x|\nabla\varphi \in L^2$ の下で、$t \in [0, T^*)$ において時間に一様に $L^2$-可積分性が保証されることを示す。
• 径対称性と角度方向の正則性を用いて、正則性損失なしにストリカルツ推定を適用し、臨界正則性の結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階シュレーディンガー方程式にハートリー非線形性を有する場合、$\alpha$, $\gamma$, $\lambda$, および $\psi$ についてどのような条件下で局所解および大域解が存在するか？
• RQ2 小刻みデータの大域的解および散乱は、$2\alpha < \gamma < n$ の場合に確立可能か？
• RQ3 大域的解のための鋭い正則性閾値は何か？ また、ストリカルツ推定において正則性損失なしに達成可能か？
• RQ4 質量臨界ケース（$\gamma = \alpha$, $\lambda = -1$）において、初期データのノルムが鋭い閾値未満のとき、大域的解が存在するか？
• RQ5 有限時刻 blowup が生じる条件は何か？ 特に、集中的な場合（$\lambda = -1$）においては？

主な発見

• 質量臨界ケース（$\gamma = \alpha$, $\lambda = -1$）において、$\|\varphi\|_{L^2} < \|Q\|_{L^2}/\|\psi\|_{L^\infty}^{1/2}$ の条件下で、$Q$ が非線形楕円型方程式の解であるとき、大域的解が確立される。
• $2\alpha < \gamma < n$ の場合に、正則性損失なしのストリカルツ推定を用いて、小刻みデータの大域的解および散乱が証明される。
• 適切な $\alpha$ および $\gamma$ の下で、精密化されたストリカルツ推定を用いて、臨界空間 $H^{\frac{\gamma-\alpha}{2}}$ における径対称解の大域的解が示される。
• モーメント推定により、$t \in [0, T^*)$ において $\||x|u(t)\|_{L^2}$ および $\||x|\nabla u(t)\|_{L^2}$ が時間に一様に有界であることが示され、$m$ に依存しない有界性が保証される。
• 適切な条件下で、$\lambda = -1$ の場合に有限時刻 blowup が証明され、集中的な領域における不安定性が示される。
• 有限時間の間、解のノルムが $m$ に一様に有界であるため、$m \to 0$ および $m \to \infty$ の極限ケースの研究が可能になる。