[論文レビュー] On the center of a Coxeter group

Tetsuya Hosaka|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意のコクセター群の中心が有限であり、ある $ n \geq 0 $ に対して $({\mathbb{Z}}_2)^n$ に同型であることを証明し、中心が完全に有限パラボリック部分群 $W_{S \setminus \tilde{S}}$ に含まれることを確立している。一方、本質的パラボリック部分群 $W_{\tilde{S}}$ の中心は自明である。この結果により、CAT(0)空間上で幾何的に作用するコクセター群に対する分解定理が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we show that the center of every Coxeter group is finite and isomorphic to $(\Z_2)^n$ for some $n\ge 0$. Moreover, for a Coxeter system $(W,S)$, we prove that $Z(W)=Z(W_{S\setminus ilde{S}})$ and $Z(W_{ ilde{S}})=1$, where $Z(W)$ is the center of the Coxeter group $W$ and $ ilde{S}$ is the subset of $S$ such that the parabolic subgroup $W_{ ilde{S}}$ is the {\it essential parabolic subgroup} of $(W,S)$ (i.e.\ $W_{ ilde{S}}$ is the minimum parabolic subgroup of finite index in $(W,S)$). The finiteness of the center of a Coxeter group implies that a splitting theorem holds for Coxeter groups.

研究の動機と目的

• コクセター群の中心の構造を特定すること。
• 特に有限および本質的成分に関して、中心をパラボリック部分群の観点から特徴づけること。
• CAT(0)空間上で幾何的に作用するコクセター群に対する分解定理を確立すること。
• 本質的パラボリック部分群 $W_{\tilde{S}}$ 及びその自明な中心が、全体の群構造において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 中心に属する要素を分析するために、短縮語表現および長さ関数の使用。
• コクセター群における生成元間の可換関係についてのティーツの定理の適用。
• 有限パラボリック部分群に一意な最長元が存在することの活用。
• 中心の元はすべての生成元と可換でなければならないことから、部分集合間の可換関係を導出。
• 分解 $W = W_{\tilde{S}} \times W_{S \setminus \tilde{S}}$ を用いて、中心を有限因子内に分離。
• 対合性質 $w^2 = 1$ とアーベル構造を用いて、中心が $({\mathbb{Z}}_2)^n$ に同型であることを証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のコクセター群の中心の構造は何か？
• RQ2 中心は特に本質的および有限のパラボリック部分群とどのように関係しているか？
• RQ3 中心は球的部分集合の最長元を用いて完全に記述可能か？
• RQ4 本質的パラボリック部分群 $W_{\tilde{S}}$ の中心は消えるか？
• RQ5 コクセター群が幾何的にCAT(0)空間上で作用する場合、どのような条件下で分解可能となり、中心とどのように関係するか？

主な発見

• すべてのコクセター群の中心は有限であり、ある $n \geq 0$ に対して $({\mathbb{Z}}_2)^n$ に同型である。
• 中心のすべての元は、ある球的部分集合 $T \subset S$ に対する有限パラボリック部分群 $W_T$ の最長元として生じる。
• 本質的パラボリック部分群 $W_{\tilde{S}}$ の中心は自明である。
• 群全体 $W$ の中心は、有限パラボリック部分群 $W_{S \setminus \tilde{S}}$ の中心と一致する。
• 中心の有限性は、CAT(0)空間上で幾何的に作用するコクセター群に対する分解定理を示唆する。
• 群 $W = W_{S_1} \times W_{S_2}$ がCAT(0)空間上で幾何的に作用する場合、作用は凸かつ準稠密部分空間上で積作用に制限される。