[論文レビュー] On the center of mass in general relativity

Lan-Hsuan Huang|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、空間的無限遠における定平均曲率（CMC）フォリエーションを用いて、一般相対性理論における重心の幾何的かつ内在的な定義を確立し、Regge–Teitelboim（RT）条件のもとで、古典的なハミルトニアン定義と同等であることを証明する。重心が漸近平坦座標系の選び方に依存しないこと、および広範なクラスの曲面に対して明確に定義されることを示し、一般相対性理論における孤立系の重心定式化における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

The classical notion of center of mass for an isolated system in general relativity is derived from the Hamiltonian formulation and represented by a flux integral at infinity. In contrast to mass and linear momentum which are well-defined for asymptotically flat manifolds, center of mass and angular momentum seem less well-understood, mainly because they appear as the lower order terms in the expansion of the data than those which determine mass and linear momentum. This article summarizes some of the recent developments concerning center of mass and its geometric interpretation using the constant mean curvature foliation near infinity. Several equivalent notions of center of mass are also discussed.

研究の動機と目的

• 座標の選択に依存しない、一般相対性理論における重心の幾何的かつ内在的な定義を提供すること。
• 古典的なハミルトニアン定義におけるあいまいさを解消するために、CMCフォリエーションに基づく幾何的定式化と同等であることを証明すること。
• 重心が正しく定義されることを、Regge–Teitelboim（RT）の偶奇条件のもとで確立すること。この条件により収束性と座標不変性が保証される。
• 重心が座標変換、特に並進と回転の下で正しく変化することを証明し、物理的整合性を確認すること。

提案手法

• 本稿は、空間的無限遠近傍におけるCMCフォリエーションの等高面を用いた積分により、幾何的重心を定義する。
• 座標依存のフラックス積分を置き換えるために、積分式における内在的曲率項 $ R^{M}_{ij} - \frac{1}{2}R_g g_{ij} $ を用いる。
• 計量および第二基本形式の漸近展開と、共形的コンパクト化を用いて、幾何的定義と古典的ハミルトニアン定義の同等性を証明する。
• Schoen–Yauの近似に基づく密度論法を用いて、調和的漸近的性質を持つ計量から一般の漸近平坦計量への結果の拡張を行う。
• 異なる漸近平坦チャート間の遷移関数の漸近的挙動を解析することで、重心が座標変換に対して不変であることを確立する。
• 領域の非対称部分の体積成長条件を満たすことで、一般の曲面における積分の収束性が保証され、標準的な球面に基づく定義が一般化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における古典的ハミルトニアン定義の重心は、空間的無限遠におけるCMCフォリエーションに基づく幾何的・内在的定式化と同等であるか？
• RQ2 重心は漸近平坦座標系の選び方に依存せず定義可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ3 漸近平坦多様体の文脈において、重心は座標変換、特に並進と回転の下でどのように変化するか？
• RQ4 重心の積分の収束性と明確な定義を保証する幾何的および解析的条件は何か？ これは非球面的曲面に対しても成り立つ。
• RQ5 RT条件が満たされた場合、幾何的重心定義は古典的定義と一致するか？

主な発見

• RT条件のもとで、CMCフォリエーションによる幾何的重心は、古典的ハミルトニアン定義と同等である。
• 重心は漸近平坦座標系の選び方に依存せず、剛体運動（$ \mathcal{O} $ が回転、$ a $ が並進）の下で正しく変化する：$ C_{I,y} = \mathcal{O} C_{I,x} + a $。
• 体積および面積成長条件を満たす広範なクラスの曲面に対して、重心が明確に定義可能である（球面に限らない）。
• 式 (4.2) で定義される内在的曲率積分による質量は、ADM質量と同等であることが示され、幾何的アプローチの整合性が確認された。
• 重心の式は、幾何的および成長条件（1）〜（3）を満たす限り、曲面列 $ \{S_k\} $ の選び方に依存しない。
• 調和的漸近的性質を持つ計量を用いた密度論法に依拠し、同等性が一般の漸近平坦計量に対しても成り立つことを示した。