[論文レビュー] On the center of the Hurwitz graph

Yuval Hovannes Khachatryan-Raziel|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非交叉分割総順序の最大鎖上のカイリーグラフであるHurwitzグラフの中心を、幾何的木グラフへの接続を確立することで調査する。すべてのスターモデル（中心頂点が1つのキャタピラー木）が拡張Hurwitzグラフにおいて中心頂点であり、半径が正確に $n-2$ であることを証明し、拡張グラフの直径に対して $[\frac{3}{2}n - 5, 2n - 4]$ の範囲を提供する。

ABSTRACT

For any natural number n, the Hurwitz graph $\mathcal{H}(S_n )$ has vertices corresponding to reduced words of the cycle $(1 . . . n)$ in terms of transpositions in $S_n$, and has edges corresponding to local shifts. This graph is known to be connected, and some of its graph theoretic properties, such as its radius and upper bounds on its diameter, are known. We explore further the structure of the Hurwitz Graph, in particular its center and its connection to the geometric tree graph $G_n$. Finally, the extended Hurwitz Graph is defined and its properties such as the radius, characterization of some central elements and bounds on the diameter are obtained. Part of fulfillment of the requirements for the Master's Degree.

研究の動機と目的

• 拡張されたバージョン $\mathcal{E}(S_n)$ におけるHurwitzグラフの中心頂点を特定するため、幾何的木グラフに接続すること。
• 拡張Hurwitzグラフ $\mathcal{E}(S_n)$ の半径と直径を特定し、タイトな境界を提供すること。
• 幾何的木写像 $\Gamma$ を介して、$n$-サイクルの因数分解と非交叉幾何的木との間の対応を確立すること。
• 右側と左側のHurwitz移動を用いた帰納的議論により、すべてのスターコンfiguration（例：$\mathcal{S}_1 = (1\,n)\dots(1\,2)$）が $\mathcal{E}(S_n)$ において中心頂点であることを証明すること。
• 既知の幾何的木グラフの直径に関する結果を活用し、拡張Hurwitzグラフにおける下界を導出すること。

提案手法

• 非交叉分割総順序 $NC(n)$ の最大鎖上のカイリーグラフとしてHurwitzグラフ $\mathcal{H}(S_n)$ を定義し、右および左のHurwitz移動 $R_i$ と $L_i$ によって誘導される辺をもつ。
• 転置の語から平面内の非交叉幾何的木へ写像する幾何的木写像 $\Gamma$ を導入し、辺構造を保存する。
• 部分積構成 $\sigma_j = t_j \dots t_{n-1}$ を用いて、$F_n \to S_{n-1}$ への写像 $\Phi$ を定義し、値の減少位置に基づいて各語に置換を割り当てる。
• 中心頂点 $i$ に中心をもつ幾何的木の辺に線形順序 $<_{i}$ を定義し、語の比較とスターコンフィギュレーションの中心性の証明に用いる。
• 語 $w$ とスターコンフィギュレーション $\mathcal{S}_i$ 間の異なる転置の数に関する帰納法を適用し、Lemma 5.2.3 を用いて距離を短縮する「プル」操作を実行する。
• $\Gamma$ の全射性と、$\mathcal{E}(S_n)$ の隣接頂点が $\mathcal{G}_n$ において隣接するか等しい木に写像されることを活用し、$\mathcal{E}(S_n)$ における距離と $\mathcal{G}_n$ における距離を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張Hurwitzグラフ $\mathcal{E}(S_n)$ のどの頂点が中心であるか、すなわち、中心性を最小化するか？
• RQ2 拡張Hurwitzグラフ $\mathcal{E}(S_n)$ の正確な半径は何か？
• RQ3 $\mathcal{E}(S_n)$ の直径は、幾何的木グラフ $\mathcal{G}_n$ の直径とどのように関係するか？
• RQ4 Hurwitz移動を用いた距離の帰納的短縮により、$\mathcal{E}(S_n)$ におけるスターコンフィギュレーションの中心性を証明できるか？
• RQ5 幾何的木グラフの性質（例：直径の境界）が、拡張Hurwitzグラフへどの程度伝わるか？

主な発見

• すべてのスターコンフィギュレーション、例えば $\mathcal{S}_1 = (1\,n)\dots(1\,2)$ は、$\mathcal{E}(S_n)$ において中心頂点であり、最小の中心性を達成する。
• 拡張Hurwitzグラフ $\mathcal{E}(S_n)$ の半径は正確に $n-2$ である。これは、任意の語がスターより距離 $n-2$ 以内にあり、この境界がタイトであることを証明することで示された。
• $\mathcal{E}(S_n)$ の直径は、下限 $\frac{3}{2}n - 5$ と上限 $2n - 4$ で抑えられ、下限は既知の $\mathcal{G}_n$ の直径から導出された。
• 幾何的木写像 $\Gamma: F_n \to \mathcal{G}_n$ は全射であり、すべての非交叉幾何的木が $F_n$ のある $w$ に対して $\Gamma(w)$ として現れる。
• $\mathcal{E}(S_n)$ の隣接頂点は、$\mathcal{G}_n$ において隣接するか等しい木に写像され、$\Gamma$ によるグラフ構造の保存が保たれる。
• 中心性の証明は、Lemma 5.2.3 における「プル」操作を用いた、語の距離の帰納的短縮に依存しており、スターコンフィギュレーションから外れる転置を、スターコンフィギュレーション内にあるものに置き換えることで、距離を維持する。