[論文レビュー] On the center of the quantized enveloping algebra of a simple Lie algebra

Libin Li, Limeng Xia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$q$ が一般のとき、有限次元単純リー代数 $\\mathfrak{g}$ の量子包あくり代数 $U_q(\\mathfrak{g})$ の中心の代数的構造を決定する。$Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ が多項式代数に同型であるのは、$\\mathfrak{g}$ が型 $A_1, B_n, C_n, D_{2k+2}, E_7, E_8, F_4,$ または $G_2$ の場合に限ることを示し、他の型、特に $D_n$（$n$ が奇数の場合）、$E_6$、および $A_n$ については、生成元と関係式による明示的記述を提供する。主な貢献は、中心が多項式代数であるかどうかの完全な分類と、それ以外の場合の詳細な代数的記述である。

ABSTRACT

Let $\frak{g}$ be a finite dimensional simple complex Lie algebra and $U=U_q(\frak{g})$ the quantized enveloping algebra (in the sense of Jantzen) with $q$ being generic. In this paper, we show that the center $Z(U_q(\frak{g}))$ of the quantum group $U_q(\frak{g})$ is isomorphic to a monoid algebra, and that $Z(U_q(\frak{g}))$ is a polynomial algebra if and only if $\frak{g}$ is of type $A_1, B_n, C_n, D_{2k+2}, E_7, E_8, F_4$ or $G_2.$ Moreover, in case $\frak{g}$ is of type $D_{n}$ with $n$ odd, then $Z(U_q(\frak{g}))$ is isomorphic to a quotient algebra of a polynomial algebra in $n+1$ variables with one relation; in case $\frak{g}$ is of type $E_6$, then $Z(U_q(\frak{g}))$ is isomorphic to a quotient algebra of a polynomial algebra in fourteen variables with eight relations; in case $\frak{g}$ is of type $A_{n}$, then $Z(U_q(\frak{g}))$ is isomorphic to a quotient algebra of a polynomial algebra described by $n$-sequences.

研究の動機と目的

• 任意の有限次元単純リー代数 $\\mathfrak{g}$ に対して、Jantzenの意味での量子包あくり代数の中心 $Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ の代数的構造を特定すること。
• 中心 $Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ が多項式代数に同型であるような $\\mathfrak{g}$ の型を分類すること。
• 型 $D_n$（$n$ が奇数の場合）、$E_6$、および $A_n$ の $Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ を、多項式代数の商代数としての生成元と関係式による明示的記述を提供すること。
• $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ の最小生成集合を特定し、それが $U_q(\\mathfrak{g})$ の中心とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、ハリシュ・チャンドラ同型を用いて、$Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ をカルタン部分代数における偶数格子のWeyl群不変部分代数 $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ と関連付ける。
• 彼らは表現論を用いて $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ の構造を分析し、$\\lambda \in Q \cap 2\\Lambda$ の各 $\\lambda$ に対して中心的元 $z_\lambda$ を構成する。
• 型 $D_n$（$n$ が奇数の場合）および $E_6$ の場合、根系と格子計算を通じて生成元と関係式を同定することで、明示的な記述を導出する。
• 型 $A_n$ の場合、$n$-列を用いて中心の代数的構造を多項式代数の商として記述する。
• ノイターの定理を適用して、不変代数 $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ の有限生成性を保証する。
• 分類は、さまざまなリー型における根格子 $Q$ と格子 $\Lambda$ の一致を分析することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元単純リー代数 $\\mathfrak{g}$ のどの型に対して、$q$ が一般のとき中心 $Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ が多項式代数に同型となるか？
• RQ2 型 $D_n$（$n$ が奇数の場合）、$E_6$、および $A_n$ の場合、$Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ の明示的代数的構造は何か？
• RQ3 $Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ の生成元と関係式は、Weyl群不変代数 $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ とどのように関係するか？
• RQ4 $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ の最小生成集合は何か？ そして、それが中心の構造をどのように決定するか？
• RQ5 $n$-列の使用により、型 $A_n$ において中心を体系的に記述できる理由は何か？

主な発見

• $Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ が多項式代数に同型であるのは、$\\mathfrak{g}$ が型 $A_1, B_n, C_n, D_{2k+2}, E_7, E_8, F_4,$ または $G_2$ の場合に限る。
• 型 $D_n$（$n$ が奇数の場合）、$Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ は $n+1$ 個の変数の多項式代数の商代数に同型であり、1つの関係式をもつ。
• 型 $E_6$ の場合、$Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ は14個の変数の多項式代数の商代数に同型であり、8つの関係式をもつ。
• 型 $A_n$（$n \geq 2$ の場合）、$Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ は $n$-列で記述される多項式代数の商代数に同型である。
• $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ の最小生成集合は明示的に特定され、それが多項式中心の分類の根拠となっている。
• ハリシュ・チャンドラ同型は、$Z(U_q(\\mathfrak{g}))$ を $(U_{\\text{ev}}^0)^W$ に同型に写し、これは $U^0$ の真の部分代数であり、常に多項式代数ではない。