[論文レビュー] On the Characterization of $1$-sided error Strongly-Testable Graph Properties for bounded-degree graphs, including an appendix

Hiro Ito, Areej Khoury+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界次数の無向および有向グラフにおける1方向誤差を有する強力にテスト可能な単調および遺伝的グラフ性質の特徴付けを提供する。このような性質が強力にテスト可能であるための必要十分条件は、単調性の場合は禁止部分グラフの有限集合によって定義される性質に近いかどうか（距離は全辺数に対する辺の編集数で測る）、遺伝的性質の場合は禁止部分グラフ（誘導部分グラフ）の有限集合によって定義される性質に近いかどうかである。

ABSTRACT

We study property testing of (di)graph properties in bounded-degree graph models. The study of graph properties in bounded-degree models is one of the focal directions of research in property testing in the last 15 years. However, despite of the many results and the extensive research effort, there is no characterization of the properties that are strongly-testable (i.e., testable with constant query complexity) even for $1$-sided error tests. The bounded-degree model can naturally be generalized to directed graphs resulting in two models that were considered in the literature. The first contains the directed graphs in which the outdegree is bounded but the indegree is not restricted. In the other, both the outdegree and indegree are bounded. We give a characterization of the $1$-sided error strongly-testable {\em monotone} graph properties, and the $1$-sided error strongly-testable {\em hereditary} graph properties in all the bounded-degree directed and undirected graphs models.

研究の動機と目的

• 有界次数グラフモデルにおける1方向誤差を有する強力にテスト可能なグラフ性質を特徴付ける長年の未解決問題に取り組むこと。
• 単調および遺伝的性質に注目した1方向誤差を有する有界次数グラフにおける性質テストの既存結果を拡張すること。
• 無向、F(d)-モデル（出次数が有界）、およびFB(d)-モデル（入出次数が有界）という異なる有界次数モデル間でのテスト可能性の理解を統一すること。
• 有限の禁止構成要素を用いた強力なテスト可能性の必要十分条件を確立し、既知のマイナー自由性および部分グラフ自由性の結果を一般化すること。
• 単調および遺伝的性質を超えて特徴付けを拡張する際の限界を検討し、特に局所的修正が新たな違反を引き起こす可能性がある場合の問題点を明らかにすること。

提案手法

• 有界次数グラフモデルを定義し、出次数が有界であるF(d)-モデルと、入出次数が有界であるFB(d)-モデルを区別する。また、クエリアクセスメカニズムも含める。
• 禁止構成要素集合への『近さ』の概念を導入する。グラフが性質に対してε-近いかどうかは、性質を満たすために高々ε·dnの辺を変更する必要があるかどうかで定義される。
• 単調性の場合は禁止部分グラフ、遺伝的性質の場合は禁止誘導部分グラフを、特徴付けの中心的構造的要素として採用する。
• 分解の議論を適用する：k-スターフリーなマイナー性質からε-遠いグラフに対しては、繰り返し小さな連結成分を削除することで、大きな成分を含まないグラフに還元でき、この過程で高々O(εdn)の辺の削除で十分であることを示す。
• もしグラフが有限の禁止構成要素集合によって定義される性質からε-遠ければ、その構成要素が多数存在することを示す。特に、FB(1)のような低次数モデルで顕著である。
• グラフマイナー理論の構造的結果と局所的分割技術を活用し、禁止構成要素条件を満たすようにグラフを変更するために必要な辺の編集数を上界で制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数の無向および有向グラフにおける1方向誤差を有する強力にテスト可能な単調グラフ性質は、どのように特徴付けられるか？
• RQ2 遺伝的グラフ性質についても、1方向誤差テストにおいて禁止誘導部分グラフの観点から同様に特徴付け可能か？
• RQ3 有限の禁止構成要素集合によって定義される性質からε-遠いグラフが、その構成要素を多数含むことが保証される条件は何か？
• RQ4 なぜ特徴付けは単調および遺伝的性質を超えて拡張できないのか。特に、局所的修正が新たな違反を生じる可能性がある場合、その理由は何か？
• RQ5 特別な場合としてFB(1)-モデル（2次有界次数）では、特徴付けの逆が成り立つが、その理由は何か。また、どのようなグローバル構造的性質がこの現象を可能にするか？

主な発見

• 単調グラフ性質は、すべての有界次数モデルにおいて、かつ、その性質が定数サイズの禁止部分グラフの有限集合によって定義される性質にε-近いかどうかに依存して、1方向誤差を有する強力にテスト可能である。
• 遺伝的性質の場合は、部分グラフの代わりに禁止誘導部分グラフを用いることで、完全な構造的特徴付けが得られる。
• k-スターフリー性（マイナーとして）は、無向d-有界次数モデルにおいて1方向誤差を有する強力にテスト可能であり、任意のε > 0に対して必要な辺の編集数はε·dnで抑えられる。
• FB(1)-モデル（したがって無向2次有界次数モデル）では、グラフがC-フリーからε-遠ければ、Ω(εn)個の禁止構成要素の出現が保証される。これは強いグローバルな関係を示している。
• 単調および遺伝的性質を超える一般性質への特徴付けの拡張が失敗するのは、1つの禁止構成要素を修正することで別の違反が生じる可能性があるグローバルな矛盾が存在するためであり、これは単調または遺伝的状況では観察されない。
• 本結果は、有界次数モデルにおけるすべての1方向誤差を有する強力にテスト可能なグラフ性質の完全な特徴付けへの基盤を提供する。特に、有限の禁止構成要素が鍵となる構造的不変量であることが特定された。