[論文レビュー] On the Chiral WZNW Phase Space, Exchange r-Matrices and Poisson-Lie Groupoids

János Balog, L. Fehér+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック反転を用いて、モノドロミーに依存する交換 r-行列を有するキラル WZNW位相空間を構成し、古典的修正ヤン・バクスターベルヌーイ方程式の動的一般化を導入する。この方程式を記述するポisson代数的群体を確立し、単純なリー群 G 上の交換 r-行列とポアソン代数的群体構造との間の一対一対応を示し、r-行列がこれらの構造を対称性として実現することを示す。

ABSTRACT

This is a review of recent work on the chiral extensions of the WZNW phase space describing both the extensions based on fields with generic monodromy as well as those using Bloch waves with diagonal monodromy. The symplectic form on the extended phase space is inverted in both cases and the chiral WZNW fields are found to satisfy quadratic Poisson bracket relations characterized by monodromy dependent exchange r-matrices. Explicit expressions for the exchange r-matrices in terms of the arbitrary monodromy dependent 2-form appearing in the chiral WZNW symplectic form are given. The exchange r-matrices in the general case are shown to satisfy a new dynamical generalization of the classical modified Yang-Baxter (YB) equation and Poisson-Lie (PL) groupoids are constructed that encode this equation analogously as PL groups encode the classical YB equation. For an arbitrary simple Lie group $G$, exchange r-matrices are exhibited that are in one-to-one correspondence with the possible PL structures on $G$ and admit them as PL symmetries.

研究の動機と目的

• 一般モノドロミーおよび対角モノドロミーを有するブロッホ波を用いた、モノドロミーに依存するキラル WZNW モデルへの位相空間の拡張。
• 拡張された位相空間上のシンプレクティック形式を反転し、キラル場に対する二次のポアソン括弧関係式を導出する。
• 得られた r-行列をモノドロミーに依存する交換行列として特徴づけ、その代数的構造を同定する。
• 古典的修正ヤン・バクスターベルヌーイ方程式を動的形に一般化し、それを記述するポアソン代数的群体を構成する。
• 任意の単純リー群 G に対して、交換 r-行列と G 上のポアソン代数的群体構造との間の一対一対応を確立する。

提案手法

• 一般モノドロミーおよび対角モノドロミーを有するブロッホ波を用いた、WZNW モデルのキラル拡張の使用。
• 拡張された位相空間上のシンプレクティック形式の反転により、キラル場に対する二次のポアソン括弧関係式を導出する。
• シンプレクティック構造におけるモノドロミーに依存する 2-形式を用いて、交換 r-行列の明示的表現を導出する。
• 交換 r-行列が満たす、古典的修正ヤン・バクスターベルヌーイ方程式の新しい動的一般化を同定する。
• 古典的バージョンがポアソン代数的群が記述するのと同様に、動的ヤン・バクスターベルヌーイ方程式を記述するポアソン代数的群体を構成する。
• 任意の単純リー群 G に対して、交換 r-行列が G 上の可能なポアソン代数的群体構造と一対一に対応することを示し、それらが対称性として作用することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キラル WZNW 位相空間は、一般モノドロミーおよび対角モノドロミーを有するブロッホ波を有する場を含めるためにどのように拡張可能か？
• RQ2 拡張された位相空間におけるキラル WZNW 場が満たす二次のポアソン括弧関係式は何か？また、それらはモノドロミーにどのように依存するか？
• RQ3 得られた交換 r-行列が満たす代数的構造は何か？また、これは古典的修正ヤン・バクスターベルヌーイ方程式をどのように一般化するか？
• RQ4 キラル WZNW モデルから生じる動的ヤン・バクスターベルヌーイ方程式を記述するポアソン代数的群体は、どのように構成可能か？
• RQ5 単純リー群 G 上の交換 r-行列とポアソン代数的群体構造との間の明確な対応関係は何か？

主な発見

• モノドロミーに依存する 2-形式を用いて、交換 r-行列の明示的表現が得られた。
• 交換 r-行列は、古典的修正ヤン・バクスターベルヌーイ方程式の新しい動的一般化を満たす。
• この一般化されたヤン・バクスターベルヌーイ方程式を記述するポアソン代数的群体が構成され、古典的バージョンがポアソン代数的群が記述するのと同様の方法である。
• 任意の単純リー群 G に対して、交換 r-行列と G 上のポアソン代数的群体構造との間の一対一対応が存在する。
• 交換 r-行列は、それに対応する G 上のポアソン代数的群体構造を対称性として持ち、直接的な代数的幾何的関係を確立する。
• この構成により、モノドロミー依存性を有するキラル WZNW モデルとポアソン代数的対称性構造が、動的 r-行列フレームワークを通じて統一される。