[論文レビュー] On the Chow group of zero-cycles of a generalized Kummer variety

Hsueh-Yung Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般化されたクーマー多様体の零サイクルのチャウ群における有理的軌道フィルトレーションが、アーベル多様体のチャウ環から誘導されるボアヴィル分解と一致することを確立する。定数サイクル部分多様体で foliated された共変化部分多様体を構成することにより、著者たちはこのフィルトレーションが予想されたブロッハ＝ベイリューエンフィルトレーションと反対であることを証明し、この設定においてヴォジンの予想を確認する。

ABSTRACT

For a generalized Kummer variety X of dimension 2n, we will construct for each 0 < i < n some co-isotropic subvarieties in X foliated by i-dimensional constant cycle subvarieties. These subvarieties serve to prove that the rational orbit filtration introduced by Voisin on the Chow group of zero-cycles of a generalized Kummer variety coincides with the induced Beauville decomposition from the Chow ring of abelian varieties. As a consequence, the rational orbit filtration is opposite to the conjectural Bloch-Beilinson filtration for generalized Kummer varieties.

研究の動機と目的

• 一般化されたクーマー多様体の零サイクルのチャウ群における有理的軌道フィルトレーションを調査すること。
• このフィルトレーションをアーベル多様体のチャウ環から誘導されるボアヴィル分解と比較すること。
• 有理的軌道フィルトレーションがボアヴィル分解と一致することを証明し、それによってブロッハ＝ベイリューエンフィルトレーションとは反対の性質を示すこと。
• 一般化されたクーマー多様体の設定において、ヴォジンの予想1.3（2015年）を検証すること。
• フィルトレーションの比較を支援するために、定数サイクル部分多様体で foliated された共変化部分多様体を構成すること。

提案手法

• 各 0 ≤ i ≤ n に対して、i 次元の定数サイクル部分多様体で foliated された共変化部分多様体を一般化されたクーマー多様体に構成する。
• ヴォジンの有理的軌道フィルトレーション S_p(CH_0(X)) を用いる。これは、次元 p の定数サイクル部分多様体上の点によって生成される部分群として定義される。
• 商写像 A_0^{n+1} → X によって誘導される CH_0(X) ≅ CH_0(A_0^{n+1})^{𝔖_{n+1}} の同型を利用する。
• CH_0(A_0^{n+1}) のボアヴィル分解を用いて、一般化されたクーマー多様体上に CH_0(X) = ⊕_{0≤s≤2n} CH_0(X)_s の分解を誘導する。
• 第4節と第5節で二通りの異なる証明を用いて、奇数 s に対して CH_0(X)_s = 0 が無条件に証明される。
• S_p(CH_0(X)) ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p} ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p+1} ⊂ Im(CH_0(V_{p,1}) → CH_0(X)) ⊂ S_p(CH_0(X)) の包含関係の鎖を確立し、等号を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたクーマー多様体 X の零サイクルのチャウ群における有理的軌道フィルトレーション S_p(CH_0(X)) は、ボアヴィル分解と一致するか？
• RQ2 ヴォジンが予想したように、一般化されたクーマー多様体において有理的軌道フィルトレーションはブロッハ＝ベイリューエンフィルトレーションと反対の性質を示すか？
• RQ3 フィルトレーションの段階を実現するために、定数サイクル部分多様体で foliated された共変化部分多様体を構成できるか？
• RQ4 アーベル多様体構造から誘導される CH_0(X) におけるボアヴィル分解は、有理的軌道フィルトレーションと一致するか？
• RQ5 有理的軌道フィルトレーションと一般化されたクーマー多様体のチャウ群構造との正確な関係は何か？

主な発見

• 一般化されたクーマー多様体 X（次元 2n）における有理的軌道フィルトレーション S_p(CH_0(X)) はボアヴィル分解と一致する：S_p(CH_0(X)) = ⊕_{2s ≤ 2n−2p} CH_0(X)_{2s}。
• 有理的軌道フィルトレーションはブロッハ＝ベイリューエンフィルトレーションと反対の性質を示し、一般化されたクーマー多様体の設定においてヴォジンの予想1.3を確認する。
• 奇数 s に対して CH_0(X)_s = 0 であり、これは第4節と第5節で二通りの異なる方法により無条件に証明される。
• CH_0(V_{p,1}) の CH_0(K_{(n)}) への像は ν_* S_p(CH_0(K_n)) に等しく、S_p(CH_0(K_n)) が余次元 p の単一の部分多様体に支持されることを示す。
• 包含関係の鎖 S_p(CH_0(X)) ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p} ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p+1} ⊂ Im(CH_0(V_{p,1}) → CH_0(X)) ⊂ S_p(CH_0(X)) が成立し、等号がすべて成り立つため、主定理が証明される。
• この結果は、一般化されたクーマー多様体について [22, 予想0.8] に対して肯定的な答えを与える。