[論文レビュー] On The Chromatic Number of Matching Graphs

Meysam Alishahi, Hossein Hajiabolhassan|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、KneserおよびSchrijverグラフの一般化であるマッチンググラフの彩色数を、交番タラン数を導入し、それがマッチングの一般化タラン数に等しいことを証明することによって決定する。Tuckerの補題と代数的数を下界として用い、マッチンググラフの彩色数が正確に |E(G)| − ex(G, rK₂) に等しいことを確立する。これはSchrijverの結果を一般化し、順列グラフおよび最小次数が高めの稠密な二部グラフにまで拡張する。

ABSTRACT

In an earlier paper, the present authors (2013) introduced the altermatic number of graphs and used Tucker's Lemma, an equivalent combinatorial version of the Borsuk-Ulam Theorem, to show that the altermatic number is a lower bound for the chromatic number. A matching graph has the set of all matchings of a specified size of a graph as vertex set and two vertices are adjacent if the corresponding matchings are edge-disjoint. It is known that the Kneser graphs, the Schrijver graphs, and the permutation graphs can be represented by matching graphs. In this paper, as a generalization of the well-known result of Schrijver about the chromatic number of Schrijver graphs, we determine the chromatic number of a large family of matching graphs by specifying their altermatic number. In particular, we determine the chromatic number of these matching graphs in terms of the generalized Turan number of matchings.

研究の動機と目的

• Schrijverの結果を、より広範なマッチンググラフのクラスに一般化すること。
• マッチンググラフの彩色数とマッチングの一般化タラン数との間の関係を確立すること。
• 十分に大きな頂点数を持つ順列グラフの彩色数を特定すること。
• Tuckerの補題を用いて、代数的数がマッチンググラフの彩色数に対するタイトな下界を提供することを証明すること。
• 交番タラン数を導入し、彩色数の上限を求めるための主要な道具として用いること。

提案手法

• 著者らは、±1の交互列を用いてハイパーグラフの代数的数および強代数的数を定義し、Tuckerの補題を活用して彩色数の下界を確立する。
• 一般化タラン数の一般化として、マッチングに特化した交番タラン数を導入する。
• この手法では、ハイパーエッジが基本グラフGにおけるサイズrのマッチングに対応する一般化KneserグラフKG(H)としてマッチンググラフを表現する。
• 二部グラフH ⊆ Gが最小次数 ≥ n/2 + q を満たす場合、Hは(r,c)-局所オイラー的であり、完全二部部分グラフに分解可能であることを証明する。
• この分解と(r,c)-局所オイラー的グラフの性質を用いて、KG(G, rK₂)の彩色数が |E(G)| − ex(G, rK₂) に等しいことを示す。
• この証明は、部分グラフへの色分けの拡張と、Hallの定理を用いたrK₂を含まない部分グラフの辺数の上限評価に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数が高く、稠密な二部グラフから構成されたマッチンググラフの彩色数は何か？
• RQ2 代数的数はマッチンググラフの彩色数とどのように関係するか？
• RQ3 一般化タラン数を用いて、十分に大きな頂点数を持つ順列グラフの彩色数を特定できるか？
• RQ4 交番タラン数がマッチングの一般化タラン数と一致する条件は何か？
• RQ5 KG(G, rK₂)の彩色数は常に |E(G)| − ex(G, rK₂| に等しいだろうか、という予想は正しいか？

主な発見

• 任意のr ≥ 1に対して、定数qとmが存在し、2n頂点のグラフGが最小次数 ≥ n/2 + q のバランスの取れた二部グラフ部分Hをもち、n ≥ m ならば、χ(KG(G, rK₂)) = |E(G)| − ex(G, rK₂) が成り立つ。
• 十分に大きなmに対して、KG(K_{m,n}, rK₂)の彩色数は正確に m(n − r + 1) に等しく、これは一般化タラン数と一致する。
• mが偶数でm ≥ n ≥ r ならば、KG(K_{m,n}, rK₂)の彩色数はm(n − r + 1) に等しくなり、この場合に予想が正当化される。
• 順列グラフS_r(m,n)の彩色数は、mが十分に大きいときm(n − r + 1) に等しいことが特定され、Schrijverの結果が拡張される。
• 代数的数はマッチンググラフの彩色数に対するタイトな下界を提供し、交番タラン数が一般化タラン数に等しいとき、この下界が達成される。