[論文レビュー] On The Class Of $2D$ $q$-Appell Polynomials

Marzieh Eini Keleshteri, Nazım I. Mahmudov|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$q$-指数関数を含む母関数を用いて、2次元の $q$-Appell多項式の新クラスを導入し、$q$-微分作用素を用いてその再帰関係および偏 $q$-微分方程式を導出する。主な貢献は、$2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler、$q$-Genocchi多項式に対する操作的恒等式および明示的関係の体系的導出であり、$q$-微積分の枠組み内での構造的および計算的性質の確立である。

ABSTRACT

In this research, as the new results of our previously proposed definition for the new class of $2D$ $q$-Appell polynomials, we derive some interesting relations including the recurrence relation and partial $q$-difference equation of the aforementioned family of $q$-polynomials. Next, as some famous examples of this new defined class of $q$-polynomials, we obtain the corresponding relations to the $2D$ $q$-Bernoulli polynomials, $2D$ $q$-Euler polynomials as well as $2D$ $q$-Genocchi polynomials.

研究の動機と目的

• 2次元の $q$-微積分設定において、Appell多項式の理論を拡張するために、新しい $2D$ $q$-Appell多項式のクラスを定義すること。
• $q$-微分作用素を用いて、この新クラスの再帰的関係および偏 $q$-微分方程式を導出すること。
• 一般枠組みを特殊化することで、$2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler、$q$-Genocchi多項式といった代表的な $q$-多項式の構造的性質を導出すること。
• $q$-微分に基づく下げる作用素を用いた操作的恒等式を確立し、多項式族の体系的取り扱いを可能にすること。

提案手法

• 本稿では、$q$-指数関数 $e_q(tx)$ および $E_q(ty)$ を含む母関数を用いて、$2D$ $q$-Appell多項式を定義する。
• 変数 $t$、$x$、$y$ に関する $q$-微分を適用し、操作的恒等式および再帰的関係を導出する。
• 多項式の次数を低下させるために、スケーリングされた $q$-微分として $\Phi_{n,q_x}$ および $\Phi_{n,q_y}$ という下げる作用素を定義する。
• 再帰的関係は、母関数の $q$-微分における係数を等置し、$q$-二項係数を用いた級数展開を用いることで導出される。
• この手法を、それぞれの生成関数が与えられる3つの特殊ケース（$2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler、$q$-Genocchi多項式）に適用する。
• 偏 $q$-微分方程式は、$A_q(t)$ 及びその比 $A_q(t)/A_q(qt)$ の $q$-級数展開から得られる係数を有する $q$-微分作用素を組み合わせることで構築される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $q$-指数関数母関数を用いて、$2D$ $q$-Appell多項式の統一的枠組みを構築できるか？
• RQ2 $q$-シフトが変数 $x$ に与える影響を記述する、$2D$ $q$-Appell多項式の再帰的関係は何か？
• RQ3 偏 $q$-微分方程式は、$2D$ $q$-Appell多項式の操作的構造と次数低下の性質をどのように反映しているか？
• RQ4 代表的な特殊ケースとしての $2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler、$q$-Genocchi多項式の明示的再帰的関係および $q$-微分方程式は何か？
• RQ5 再帰的関係の係数は、$q$-数、$q$-二項係数、$q$-階乗とどのように関係しているか？

主な発見

• 2次元 $q$-Appell多項式の再帰的関係は、次のように導出される：\[ A_{n,q}(qx,y) = q^n\left(x + (\alpha_1 + \beta_0 y)q^{-1}\right)A_{n-1,q}(x,y) + \frac{1}{[n]_q}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]_q q^{k-1}A_{k-1,q}(x,y)\left(\alpha_{n-k+1} + \frac{y}{[n-k+1]_q}\beta_{n-k}\right) \]
• 2次元 $q$-Euler多項式の再帰的関係は、次のように与えられる：\[ G_{n,q}(qx,y) = q^n\left(x + \frac{(q+1)y-1}{2q}\right)G_{n-1,q}(x,y) + \frac{1}{[n]_q}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]_q q^{k-1}G_{k-1,q}(x,y)\left(\frac{1}{2}E_{n-k,q} + \frac{(q-1)y}{q[n-k+1]_q}\sum_{l=0}^{n-k}\left[\begin{array}{c}n-k\\ l\end{array}\right]_q E_{l,q}\right) \]
• 2次元 $q$-Euler多項式の偏 $q$-微分方程式は、次のように表される：\[ \left[(xq^n + \frac{(q+1)y}{2[k]_q} - \frac{1}{2})D_{q,x} + \sum_{k=2}^n \frac{q^{n-k}}{[k]_q!}\left(\frac{1}{2}E_{k-1,q} + \frac{(q-1)y}{2[k]_q}\sum_{l=0}^{k-1}\left[\begin{array}{c}k-1\\ l\end{array}\right]_q E_{l,q}\right)D_{q,x}^k\right]E_{n,q}(x,y) - [n]_q E_{n,q}(qx,y) = 0 \]
• 2次元 $q$-Genocchi多項式の再帰的関係は、次のように与えられる：\[ G_{n,q}(qx,y) = q^n\left(x + \frac{y-1}{q^2}\right)G_{n-1,q}(x,y) + \frac{1}{2[n]_q}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]_q q^{k-2}G_{k-1,q}(x,y)\left(G_{n-k+1,q} + \frac{(q-1)y}{[n-k+1]_q}\sum_{l=0}^{n-k}\left[\begin{array}{c}n-k\\ l\end{array}\right]_q G_{l,q}\right) \]
• 2次元 $q$-Genocchi多項式の偏 $q$-微分方程式は、次のように表される：\[ \left[(xq^n + \frac{y-1}{q})D_{q,x} + \sum_{k=2}^n \frac{q^{n-k-1}}{2[k]_q!}\left(G_{k,q} + \frac{(q-1)y}{[k]_q}\sum_{l=0}^{k-1}\left[\begin{array}{c}k-1\\ l\end{array}\right]_q G_{l,q}\right)D_{q,x}^k\right]G_{n,q}(x,y) - [n]_q G_{n,q}(qx,y) = 0 \]
• $q$-Euler数および $q$-Genocchi数を用いて、再帰的関係における係数 $\alpha_n$ および $\beta_n$ が明示的に表され、生成関数の構造と多項式係数との間の関係が明確に示された。